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title: "有限振幅摆与周期测量互动实验｜Sandbox Physics"
description: "摆幅会改变摆钟的周期吗？会。摆幅越大，周期比小角度公式算的越长，长多少由椭圆积分给出。摆幅 90 度时，周期大约长 18%。摆幅越接近顶点，周期越是急剧变长。"
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last_modified: "2026-10-25"
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M062 · 非线性振动 / 周期测量

# 有限振幅摆与周期测量

**摆幅会改变摆钟的周期吗？** 会。摆幅越大，周期比小角度公式算的越长，长多少由椭圆积分给出。摆幅 90 度时，周期大约长 18%。摆幅越接近顶点，周期越是急剧变长。

拖动摆球，把大幅摆动与小角度参考摆对照。测量更长的周期，再试试阻尼和整圈转动。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型是质点摆球挂在刚性杆上，支点固定，重力均匀。杆既能受拉也能受压，不会像软绳那样松弛。支点处可以加黏性阻尼力矩。椭圆积分给出的周期对应初始能量下的无阻尼轨道；有阻尼时，能量不断损失，两次穿越的间隔也随之改变。独立的功率积分、步长减半和带正负号的杆力，用来显示模型和数值计算的局限。诊断读数分别显示动能、重力势能和累计耗散。装置长度经过缩放以适应画面；球的大小、支架和表面标记都是示意。灰色参考球照搬无阻尼的小角度解，大摆幅时可能不准。灰色参考摆在深度方向略微错开，便于看清。

物理教程

## 当摆幅进入摆钟的计时规律

**背景** 恢复力矩和转角的正弦成正比。在最低点附近，它几乎是线性的；摆幅大时，摆球会在转向点附近停留更久。

**为什么值得理解** OpenStax 第 15.4 节给出了摆的方程，以及小角度近似的适用范围。有限摆幅的周期预测由能量积分推出，其中的完全椭圆积分另用 NIST DLMF 19.8.5 的算术几何平均算法计算。

先抓重点

- **核心问题**: 小角度近似会造成多大的计时偏差？
- **一句话直觉**: 把两样东西分开：无阻尼轨道的预测周期，和摆球连续两次同向穿过最低点实际测出的周期。

### 核心数学模型

#### 实验室坐标中的位置与速度

$$
\mathbf r=L(\sin\theta,0,-\cos\theta),\quad \mathbf v=L\dot\theta(\cos\theta,0,\sin\theta)
$$

竖直坐标朝上。速度沿圆周的切线方向；灰色摆球是另算的小角度参考。

#### 非线性运动方程

$$
\ddot\theta+2\zeta\omega_0\dot\theta+\omega_0^2\sin\theta=0,\quad \omega_0=\sqrt{g/L}
$$

黏性阻尼力矩与转动惯量和角速度都成正比。

#### 无阻尼摆动周期

$$
T=\frac{4}{\omega_0}K(k),\quad k=\sin\frac{\theta_{\max}}2
$$

转向角由能量决定，释放时也可以带初速度。

#### 另用算法计算椭圆积分

$$
K(k)=\frac{\pi}{2\operatorname{AGM}(1,\sqrt{1-k^2})}
$$

预测用一套独立的数值算法，不借用计算运动的积分器。

#### 能量与耗散

$$
E=\tfrac12mL^2\dot\theta^2+mgL(1-\cos\theta),\quad E+Q=E_0
$$

耗散由黏性功率积分得到，能量收支剩下的残差仍是一项独立检验。

#### 杆力的正负

$$
F_{\mathrm{rod}}=m(g\cos\theta+L\dot\theta^2)
$$

正值表示杆把摆球拉向支点，负值表示推离支点；刚性杆两种都能承受。

### 常见难点

#### 预测不等于测量

**容易误解** 刚释放时显示的周期，就已经是测量结果。

**正确理解** 预测值一开始就有；测量要等摆球同方向经过最低点两次。

#### 阻尼改变轨道能量

**容易误解** 一个椭圆积分周期能描述所有有阻尼周期。

**正确理解** 固定的参考周期按初始能量计算；摆幅变小后，后面的穿越间隔会跟着变。

#### 刚性杆也能推

**容易误解** 从高角度释放，摆球一定会失去约束。

**正确理解** 只能受拉的软绳才会这样。本装置特意用了能受压的刚性杆。

### 动手实验

1. 01

   #### 在底部附近标定

   对“小角度摆钟”采集完整记录，再展开“初态与数值设置”改变摆球质量。

   **你会看到：** 周期不变，能量和力都与质量成正比。

2. 02

   #### 增大摆幅

   比较“大摆幅”和“接近倒立势垒”，对照灰色参考摆球；可以旋转装置或使用“摆动平面”视角。

   **你会看到：** 简谐参考越走越靠前；测得的间隔接近更长的椭圆积分预测。

3. 03

   #### 从摆动换成转动

   选择“完整转动”，再把初始角速度反向。

   **你会看到：** 限制在一圈内的角度会跳回，但不折回的完整转角保持连续，同向转满一圈的计时也保持连续。

4. 04

   #### 分清物理效应和数值误差

   展开“记录与诊断”，采集有阻尼的记录，再在“初态与数值设置”中把最大数值步长减半。

   **你会看到：** 耗散仍然存在；步长变小后，独立的能量残差和两次计算的状态差都会减小。

物理结论

质量决定能量和杆力；长度、重力与轨道能量决定周期。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)