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title: "液丝颈缩互动实验｜Sandbox Physics"
description: "表面张力为什么会把液丝拉出鼓包，让中间越变越细？足够长的鼓包能减少液柱表面积。"
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last_modified: "2026-10-28"
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FR18 · 毛细失稳

# 液丝颈缩

**表面张力为什么会把液丝拉出鼓包，让中间越变越细？** 足够长的鼓包能减少液柱表面积。细颈处毛细压强更高，液体流向两侧鼓包，细颈就更细。短波的轴向弯曲太强，起伏会平息；黏度增大则让流动变慢。

看液体怎样从细颈流向两侧鼓包。比较长短不同的扰动，再增大黏度，让颈缩慢下来。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

采用一维轴对称 Eggers–Dupont 模型，在周期单元内同时求半径和轴向速度；密度、黏度、表面张力固定。不含重力、外侧流体应力、热噪声和分子作用。长度以初始平均截面积对应的半径为单位，时间以惯性毛细时间为单位。细颈接近网格分辨率、或长波几何变得过陡时停止，不跨越断裂。琥珀色标记跟随计算所得的轴向流，大小为示意。记录均来自模拟。

## 细颈与不断长大的起伏

青色为数值模拟记录，琥珀色虚线为同一细长液柱模型独立推导的小扰动解。竖线对应上方正在显示的时刻。

最细处半径随时间变化 $r_{\min}/R_0$

从半径记录提取的余弦振幅与线性参考解 $\lvert a_1\rvert/R_0$

单位与停止位置

初始平均截面积确定半径单位；密度、半径和表面张力确定毛细时间。细颈半径达到一点五个网格间距或初始半径的百分之十六（取较大者），或轴向坡度超过一点二时，计算停止。

$t_c=\sqrt{\rho R_0^3/\gamma},\qquad \mathrm{Oh}=\mu/\sqrt{\rho\gamma R_0}$

物理教程

## 表面张力怎样让细颈越来越细

**背景** 细水流常常先长出一串鼓包，再分成液滴。从侧面看笔直的液柱，绕着轴线看仍然是弯曲的。

**为什么值得理解** 液面沿轴向和绕轴线的两种弯曲彼此竞争。看清它们怎样决定压强，就能解释起伏为什么有的消退、有的长大。

先抓重点

- **核心问题**: 表面张力为什么会把液丝拉出鼓包，让中间越变越细？
- **一句话直觉**: 长波起伏把液体从细颈搬到鼓包，表面能随之下降。

### 核心数学模型

#### 沿液丝流动的体积

$$
\partial_t(r^2)+\partial_z(r^2u)=0
$$

坐标沿液丝轴线，半径用初始平均截面积对应的半径作单位，速度用该半径除以毛细时间作单位。截面积乘轴向速度给出体积流率；方程两边的圆周率约掉了。

#### 两种弯曲共同决定压强

$$
\kappa=\frac{1}{r\sqrt{1+r_z^2}}-\frac{r_{zz}}{(1+r_z^2)^{3/2}}
$$

第一项来自绕轴线的弯曲，第二项来自侧面轮廓。细颈让第一项增大，短波的轴向曲率却能抵消它。无量纲毛细压强就等于这里的曲率。

#### 小起伏的增长判据

$$
s^2+3\mathrm{Oh}\,k^2s=\tfrac12 k^2(1-k^2),\qquad k=\frac{2\pi R_0}{\lambda}
$$

无量纲波数小于一时，小起伏存在指数增长的分支。黏性项降低增长速度。这是当前一维模型的色散关系。

### 常见难点

#### 表面张力与光滑

**容易误解** 表面张力总会把看得见的鼓包抹平。

**正确理解** 表面张力要在体积固定时减少表面积。长液柱长出鼓包后，表面积反而可以更小。判断方向时，要比较整个液面的面积。

### 动手实验

1. 01

   #### 先猜长波和短波各会怎样

   先看“细颈越变越细”，再选“短波逐渐平息”。

   **你会看到：** 长波细颈不断失去液体。短波则逐渐变平，轴向曲率改变了压强差的方向。

2. 02

   #### 让同一个扰动慢下来

   选“黏度拖慢颈缩”，比较最细处半径随时间的变化。

   **你会看到：** 失稳的波长门槛没有改变，细颈变细却需要更长时间。

3. 03

   #### 找出线性预测开始偏离的地方

   选“小起伏慢慢长大”。上下拖动细颈，改变起初的起伏。

   **你会看到：** 模拟中余弦分量的振幅起初跟随琥珀色线性解。形状长出更多谐波后，两条曲线逐渐分开。

物理结论

液面的几何决定毛细作用是恢复圆柱，还是抽空细颈；黏性决定这个过程发展得多快。

## 相关实验与文章

动态界面 · 阅读路径

### 曲率、薄膜、温差流与液丝

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **细水流为什么会长成一串水珠**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dynamic-interfaces/liquid-thread/)
2. [文章 **细颈越来越小，计算什么时候该停**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dynamic-interfaces/resolution-and-singularities/)

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)