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title: "场是怎样量子化的互动实验｜Sandbox Physics"
description: "怎样从连续的场，得到一个个离散的粒子激发？模式决定空间形状和频率，占据数决定在这个模式里加了几份等量能量。"
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last_modified: "2026-10-27"
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Quantum Lab 04 · 同一种形状，不同的能级

# 场的模式与量子化

**怎样从连续的场，得到一个个离散的粒子激发？** 模式决定空间形状和频率，占据数决定在这个模式里加了几份等量能量。占据数为零时，振子的分布仍有宽度；粒子数确定的数态，其概率分布不随时间改变。

拖动两端固定的场模，再选择量子占据数，比较波长、能量与定态振子的坐标概率分布。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

青线预览模式；数态平均场为零，分布保持静止。

## 量子态也有自己的分布形状

1 个量子

### 坐标概率分布

同一种数态反复制备后，坐标测量的精确概率密度。

$q=Q_k\sqrt{\omega_1/\hbar}\quad\longrightarrow\quad p_{k,n}(q)$

### 能级阶梯

拖动金色能级，或用方向键选择量子数。

$E/(\hbar\omega_1)=k(n+1/2)$

画面表示什么

这是两端固定的理想无质量场，所选模式处于数态。青线是峰值归一为一的空间模式函数。静止的紫色带表示所选模式的一个空间均方根宽度，使用固定示意增益；其他模式未计入。它表示分布宽度，不是置信区间。

$$
u_k(x)=\sin(k\pi x/L),\qquad\omega_k=k\omega_1,\quad\omega_1=\pi c/L
$$

$$
\langle Q_k\rangle_n=0,\qquad\langle q^2\rangle_n=(n+1/2)/k
$$

数态随时间只改变整体量子相位，图中的概率密度因此保持静止。坐标按质量归一化，频率与能量读数始终使用基频作参考。

$$
X=\sqrt{k}\,q,\quad p_{k,n}(q)=\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{\pi}\,2^n n!}H_n(X)^2e^{-X^2}
$$

[MIT 8.04 · 第 8 讲，定态与归一化振子波函数](https://ocw.mit.edu/courses/8-04-quantum-physics-i-spring-2013/808334d09369e3a726f6f20d82315c20_MIT8_04S13_Lec08.pdf) · [NIST · Hermite 正交关系](https://dlmf.nist.gov/18.3)

[继续阅读：怎样把一个模式量子化 →](https://sandboxphysics.com/zh/learn/field-theory/quantizing-a-field/)

物理教程

## 模式管空间形状，占据数管量子态

**背景** 两端固定以后，场只能采用某些驻波形状。每一种形状都像一个谐振子，可以独立放入不同数量的量子。

**为什么值得理解** 换一种空间模式，与往同一模式里加一个量子，是两个不同操作。把它们分清，真空里为什么仍有涨落也就容易理解了。

先抓重点

- **核心问题**: 换模式会改变什么？多加一个量子又会改变什么？
- **一句话直觉**: 模式决定波长和频率，占据数决定这个振子的量子态与定态概率分布。

### 核心数学模型

#### 两端固定的空间模式

$$
u_k(x)=\sin(k\pi x/L),\qquad\omega_k=k\omega_1,\quad\lambda_k=2L/k
$$

整数 $k$ 数的是区间里有几个半波长。青线展示这个空间基函数，峰值归一为一。

#### 用同一个基频比较能量

$$
E_{k,n}=\hbar\omega_1 k(n+1/2)
$$

每加一个量子，能量增加 $\hbar\omega_k$。切换模式时，能量读数仍使用同一个基频作参考。

#### 数态平均为零，分布仍有宽度

$$
q=Q_k\sqrt{\omega_1/\hbar},\qquad\langle q\rangle_n=0,\quad\langle q^2\rangle_n=\frac{n+1/2}{k}
$$

按质量归一化的振子坐标具有定态概率分布。即使处于真空态，均方根宽度仍然非零。

### 常见难点

#### 两个整数，各有含义

**容易误解** 波形里有三个半波长，就说明场里有三个粒子。

**正确理解** 模式编号描述空间形状。占据数是另一个独立的量，同一模式可以没有量子，也可以放入一个或多个。

#### 基函数与数态轨迹

**容易误解** 青线画出了真空随时间怎样运动。

**正确理解** 青线是展开场时使用的空间函数。数态的平均场为零，正交分量的概率密度不随时间改变。

### 动手实验

1. 01

   #### 固定占据数，改变空间形状

   选择“一个量子，双峰分布”，保持量子数为一，把“空间模式”从一改为三。

   **你会看到：** 区间内多了两个节点。频率与能量变为三倍，波长降到三分之一，坐标均方根降为原来的 $1/\sqrt3$。

2. 02

   #### 看看真空的宽度

   选择“真空也有宽度”，观察紫色概率曲线。

   **你会看到：** 分布是有有限宽度的高斯形状，能量仍有半份基频量子。

3. 03

   #### 沿能级往上走

   保持空间模式不变，把金色能级往上拖。

   **你会看到：** 空间节点不动，能量一级一级等量增加。正交分量分布出现更多结构，方差也增大。

物理结论

自由场的一个粒子，是某个空间模式的一份激发；真空仍保留有限的正交分量宽度。

## 相关实验与文章

场、尺度与临界现象 · 阅读路径

### 从场模走到临界现象

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **一串振子怎样变成场**](https://sandboxphysics.com/zh/learn/field-theory/from-oscillators-to-fields/)
2. [文章 **对称性告诉我们什么在流动**](https://sandboxphysics.com/zh/learn/field-theory/symmetry-and-causality/)

量子与场 · 入门路径

## 从一次测量开始

先预测结果，再数一数实际测到了什么。从一个量子比特出发，一路走到波包、束缚态和双光子干涉。

[从这里开始 → **量子态与 Born 测量** 先预测一个概率，转动分析器，再拿预测和多次测量得到的频率比一比。 观察 · 15 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
3. [3 波包传播与不确定性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
4. [4 量子谐振子态工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)
5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/quantum/#starter-path)