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title: "Fermi–Hubbard · 读出邻居的自旋互动实验｜Sandbox Physics"
description: "为什么相邻的原子更愿意自旋相反？排斥让两个原子很难待在同一格。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/fermi-hubbard-spin-correlations/"
last_modified: "2026-10-27"
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量子物质 / 费米原子

# Fermi–Hubbard · 读出邻居的自旋

**为什么相邻的原子更愿意自旋相反？** 排斥让两个原子很难待在同一格。可自旋相反的邻居还能短暂跳到对方格上再跳回来，借此降低能量；自旋相同的邻居被 Pauli 原理挡住，没法这样做。这点小小的交换能偏向相邻自旋反向排列，温度则会把它打乱。

在小晶格里逐格数清两种自旋的原子。调节排斥、跃迁、填充和温度，从一张张完整快照里统计双占据和连通自旋关联，再拿升温和空穴的情况作对照。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

计算的是两到四格开放链的精确正则平衡态，自旋和粒子数的探测都是理想的。把两种自旋的原子数各自固定，本身就会带来关联。结果不代表二维相图，也不是超导计算。

逐格观察原子晶格

$L=4$

上自旋 下自旋 空格 示意图 · 每格一个轨道

每次测量都重新制备一份相同状态。

有两个及以上原子的格点 $0\%$

反向单占据的邻居 $0\%$

模型概率 · 对全部格点或相邻键取平均。

从预测到记录下的结果

## 哪些排列会反复出现？

点击一行，放大查看该构型。金色是模型概率，青色是快照中的实际频率。

每张快照都来自一次新的制备

## 同一个状态，每次结果不同。

最近的快照 点击回看

一张快照从左往右读。空圈代表空格；两点代表同一轨道中的两个原子。这些是独立结果，不是原子移动的连续帧。

逐格统计的测量数据

## 先拍快照，再求平均。

青柱：记录均值；误差线：一个标准误差；金色短线：精确模型期望。

$M=0$ $\text{—}$ $\text{—}$

配对数按格点平均；邻居读数是原始自旋乘积，与下方连通协方差分开。估计仅使用原始记录。误差按独立制备计算，不把同一快照中的格点当成独立样本；一次制备不提供估计标准误差。

逐格数值

| 格点 | 测得均值 | 样本方差 | 模型均值 |
| --- | --- | --- | --- |

自旋关联测量数据

## 平均之后，还剩下什么关联？

$\begin{gathered}\widehat C_{ij}=\frac{1}{M-1}\sum_r\\(S_{i,r}^z-\bar S_i^z)(S_{j,r}^z-\bar S_j^z)\end{gathered}$

珊瑚色为负、青色为正；不足两份快照时为灰色。数值是无偏样本协方差；固定总自旋在高温也会造成背景关联，小矩阵中的负值不证明长程有序。

## 留下一组对照

| 试验 | 读出 | 结果 |
| --- | --- | --- |

展示最近十二条，CSV 保留全部结果与设置；费米占据先列所有上自旋格点，再列所有下自旋格点。最多保存六组，点击可恢复。

精确小系统 · 明确边界

$D=0$

包含所选粒子数扇区中的全部构型，玻色单格占据除固定总数外不作截断。残差检查数值对角化，不评估单带物理模型的准确性。

$\begin{gathered}x_i=i-(L-1)/2\\V_i=Vx_i^2+Fa,x_i\end{gathered}$

格点从左至右，以格距为单位。中间键倍率作用于从零数起的第二条键（四格），两格及三格时作用于第一条键。全部能量采用固定参考能量。开放边界；省略加载斜坡、高能带、成像点扩散、热库及二维体相极限。零温简并基态取等权混合。

$\text{—}$

交换估计仅在半填充、无势阱、无倾斜、均匀键且排斥至少为跃迁八倍时显示；这是强排斥参考，不是相变温度。

[Greiner et al. · 2002](https://doi.org/10.1038/415039a) [Mazurenko et al. · 2017](https://arxiv.org/html/1612.08436v1) [配套实验](https://sandboxphysics.com/zh/labs/bose-hubbard-lattice/)

物理教程

## Fermi–Hubbard · 读出邻居的自旋

**背景** 在小晶格里逐格数清两种自旋的原子。调节排斥、跃迁、填充和温度，从一张张完整快照里统计双占据和连通自旋关联，再拿升温和空穴的情况作对照。

**为什么值得理解** 把几个格点反复制备，每次都把原子数一遍，多体物理就藏在这些计数里。

先抓重点

- **核心问题**: 为什么相邻的原子更愿意自旋相反？
- **一句话直觉**: 排斥让两个原子很难待在同一格。虚跃迁让相邻原子偏向自旋相反，可这份交换能很小，温度一高就会盖过它。

### 核心数学模型

#### 开放链 Hamiltonian

$$
\begin{gathered}H=-J\sum_{i,\sigma}(c^\dagger_{i\sigma}c_{i+1,\sigma}+\mathrm{h.c.})\\+U\sum_i n_{i\uparrow}n_{i\downarrow}+\sum_i V_i n_i\end{gathered}
$$

每格只有一个轨道。能量用固定的参考单位表示，调节跃迁不会改变这个单位。

#### 连通自旋关联

$$
C_{ij}=\langle S_i^zS_j^z\rangle-\langle S_i^z\rangle\langle S_j^z\rangle
$$

样本协方差扣掉了平均自旋的乘积。两种自旋的总数固定，远处的格点之间仍会互相牵制。

#### 交换能标

$$
J_{\mathrm{ex}}\simeq\frac{4J^2}{U}
$$

这是强排斥、半填充时的参考值，不是精确的有限温相变温度。

### 常见难点

#### 小系统不是无限系统

**容易误解** 几个格点就能定出宏观的相变。

**正确理解** 这些小系统的精确计算显示的是渐变和关联，给不出热力学临界点。

#### 计算曲线与原子计数

**容易误解** 计算曲线是从数到的原子重建出来的。

**正确理解** 参考曲线直接由密度矩阵算出；柱图、均值和协方差只用原始样本。

### 动手实验

1. 01

   #### 从对照开始

   先采集自由情况并保存，再保持填充不变，加大排斥。

   **你会看到：** 把双占据和自旋关联矩阵跟保存的自由情况比一比。

2. 02

   #### 打破规律

   先升温，再减少一个上自旋原子。

   **你会看到：** 换了填充或势阱，同样大小的排斥未必带来同样的关联。

3. 03

   #### 检验极限

   把跃迁设为零，比较两格与四格，并导出完整记录。

   **你会看到：** 简并的基态按等权混合，不会随意挑出某一张有序快照。

物理结论

计算的是两到四格开放链的精确正则平衡态，自旋和粒子数的探测都是理想的。把两种自旋的原子数各自固定，本身就会带来关联。结果不代表二维相图，也不是超导计算。

量子与场 · 入门路径

## 从一次测量开始

先预测结果，再数一数实际测到了什么。从一个量子比特出发，一路走到波包、束缚态和双光子干涉。

[从这里开始 → **量子态与 Born 测量** 先预测一个概率，转动分析器，再拿预测和多次测量得到的频率比一比。 观察 · 15 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
3. [3 波包传播与不确定性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
4. [4 量子谐振子态工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)
5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/quantum/#starter-path)