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title: "费马驻值光路剧场互动实验｜Sandbox Physics"
description: "为什么一条关于传播时间的规则，能同时解释反射、折射和弯曲的光线？因为真实光线的路径有个特点：端点固定，把路径稍微挪一挪，传播时间在一阶上不变。"
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last_modified: "2026-10-27"
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光学 007 · 光线世界、界面与自然光学

# 费马驻值光路剧场

**为什么一条关于传播时间的规则，能同时解释反射、折射和弯曲的光线？** 因为真实光线的路径有个特点：端点固定，把路径稍微挪一挪，传播时间在一阶上不变。这个条件用在镜面上，得到入射角等于反射角；用在界面上，得到 Snell 定律；折射率连续变化时，得到弯曲的光线。

光源和探测器固定，拖动一条试探路径，让它经过不透明镜面、两种折射率的界面或连续的抛物型 GRIN 介质。真实光线、试探变分、光程地形和定律残差都来自同一个模型。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

费马原理要求光程取驻值，这不一定是最短的几何距离。模型采用无损、各向同性介质中的单色几何光学。虚线变分只用来比较，不是额外的光线。不模拟波的振幅和衍射。

物理教程

## 检验费马驻值光路剧场的物理过程

**背景** 费马原理比较的是端点相同、彼此相邻的路径。真实光线让光程泛函取驻值：$\delta\mathrm{OPL}=\delta\!\int_A^B n(\mathbf r)\,\mathrm ds=0$。“驻值”这个词很要紧：本实验中的直接光路是局部极小，但别的光学系统里也有驻值极大或鞍点光路。所以这条原理并不是说光总走几何距离最短的路。

**为什么值得理解** 为什么一条关于传播时间的规则，能同时解释反射、折射和弯曲的光线？

先抓重点

- **核心问题**: 为什么一条关于传播时间的规则，能同时解释反射、折射和弯曲的光线？
- **一句话直觉**: 洋红色候选路径端点相同，只靠一个参数变化。在金色真实光路处，$\left.\frac{\partial\mathrm{OPL}(a)}{\partial a}\right|_{a=0}=0$。所以悬浮的光程地形、带符号的到达时间差和导数，指向的是同一条驻值曲线。

### 核心数学模型

#### 固定端点的光程

$$
\mathrm{OPL}[\mathbf r]=\int_A^B n(\mathbf r)\,\mathrm ds,\qquad \delta\mathrm{OPL}=0
$$

比较路径必须保持两个端点不变。通往别的探测器的路径即使更短，也说明不了费马驻值条件。

#### 界面交点的驻值条件

$$
n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2
$$

让交点沿界面滑动、在真实交点处取驻值，切向光学动量就保持不变。反射时两段折射率相同，这个条件就变成入射角等于反射角。

#### 连续折射率中的光线方程

$$
\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}\!\left(n\frac{\mathrm d\mathbf r}{\mathrm ds}\right)=\nabla n
$$

GRIN 光路由这个方程积分得到，按边值问题求解。另有一项数值检查单独监测轴向光学动量，它是守恒量。

### 常见难点

#### 把驻值光程当成最短距离

**容易误解** 光只走几何上最短的直线，折射率和相邻路径都无关紧要。

**正确理解** 光程把每一小段路径都乘上当地的折射率。端点固定时，让这个加权长度取驻值，就能得到反射、折射和连续弯曲。

### 动手实验

1. 01

   #### 场景 1：镜面等角驻值

   在镜面场景，把洋红交点拖到金色交点上。比较镜面两侧的角度，再在到达时间地形上找到驻值点。

   **你会看到：** 只有金色光路在等角交点处真正转折。虚线比较路径不是反射光，上面也没有光子脉冲。

2. 02

   #### 场景 2：Snell 界面驻值

   切换到双介质场景，移动目标，看驻值交点跟着移动；每次变分扫描时，光源和目标都固定不动。

   **你会看到：** 驻值交点一般不在直线穿过界面的位置，因为较慢的介质在光程里权重更大。

3. 03

   #### 场景 3：GRIN 弯曲测地线

   进入 GRIN 场景，绕着折射率等值线转动视角。再把候选形变调回零，同时看第一变分和动量残差。

   **你会看到：** GRIN 光线连续弯向折射率更高的一侧。发射方向稍有不同的真实光线会落到别处，而每条洋红变分路径都仍然落在选定目标上。

物理结论

同一个驻值光程原理，就能给出等角反射、Snell 定律和 GRIN 中的连续弯曲；前提是讲清端点、折射率分布，以及近似在什么范围内成立。

波与光学 · 入门路径

## 从一条光线到干涉测量

从折射出发，找到光线模型失效的地方，再用干涉测量极小的距离。

[从这里开始 → **光学界面探索器** 转动入射角，观察反射与透射功率此消彼长；再切换到“临界角与全反射”场景。 观察 · 11 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)

1. [1 光学界面探索器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)
2. [2 彩虹焦散观测站](https://sandboxphysics.com/zh/labs/rainbow-laboratory/)
3. [3 针孔相机](https://sandboxphysics.com/zh/labs/camera-obscura/)
4. [4 相干波合成器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/coherent-wave-composer/)
5. [5 Young 双缝实验台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/young-double-slit-bench/)
6. [6 Michelson 精密测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/michelson-precision-lab/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/waves-and-optics/#starter-path)