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title: "信息引擎：测量微珠位置换来的功互动实验｜Sandbox Physics"
description: "测一次光阱里微珠的位置，最多能换来多少功？什么在限制它？测出光阱里的微珠偏到了哪里，再把光阱移向它，微珠的能量就会下降，由水的热运动对外做功。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/feedback-information-engine/"
last_modified: "2026-10-29"
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FR25 · 反馈与信息

# 信息引擎：测量微珠位置换来的功

**测一次光阱里微珠的位置，最多能换来多少功？什么在限制它？** 测出光阱里的微珠偏到了哪里，再把光阱移向它，微珠的能量就会下降，由水的热运动对外做功。平均下来，这份功不超过热能乘以测量所带的互信息。只移动光阱只能用掉其中一部分：读数很准时，大部分信息被浪费；读数模糊、增益取小时，大部分信息都能变成功。

测出微珠在光阱里的位置，把光阱移向它，就能从水的热运动中提取功。平均提取量不超过互信息。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

模型是一颗半径 0.5 µm 的过阻尼微珠，在 300 K 的水中沿一维运动，光阱刚度 10 pN/µm。每个周期先以高斯误差测量位置，再把光阱瞬间移动“增益乘测得偏移”，然后让微珠在等待时间内精确弛豫。不计测量本身和擦除记录的代价。所有周期均为模型模拟，未展示实测数据。

功与信息随增益的变化

单个周期可以超过上限，平均值不能

64 台引擎的累计功

更多数值与计算方法

- **每周期平均提取功的精确值**: $0$
- **模拟平均功的标准误**: $0$
- **每次测量互信息的精确值**: $0$
- **周期结束时仍未用掉的信息**: $0$
- **测量前微珠位置方差与热平衡方差之比**: $0$
- **读数的信噪比**: $0$
- **充分等待时的最佳增益**: $0$
- **该增益下的效率**: $0$
- **精确等式的样本平均（期望为 1）**: $0$
- **其中最大单个周期的占比**: $0$
- **平均总熵产生加信息量**: $0$
- **弛豫时间**: $0$
- **引擎数乘周期数**: $0$

精确值来自周期稳态方差的闭式解。标准误由 64 台引擎各自平均值的离散度得到。精确等式的样本平均会被少数读数指错方向的周期拉低，要有多得多的周期才会接近 1，这与 Jarzynski 平均的情形相同。

物理教程

## 一次测量可以换来功

**背景** 光阱里的微珠在温水中不停抖动。如果知道它偏向哪一边，就可以把光阱移到它下面，让它“落”下去。这时光阱做的是负功，能量由水来出。

**为什么值得理解** 在单一温度下循环，平均而言不可能对外做功，除非有什么东西掌握了微珠的信息。问题在于，一次测量值多少功，实际的反馈又为什么达不到这个值。

先抓重点

- **核心问题**: 测一次光阱里微珠的位置，最多能换来多少功？什么在限制它？
- **一句话直觉**: 每个周期平均提取的功，不会超过热能乘以微珠位置与读数之间的互信息。测得越准，信息越多，但一次移动光阱最多只能用掉约半个热能，所以模糊的读数配上较小的增益，效率反而最高。

### 核心数学模型

#### 一次瞬间移动的功

$$
W=\tfrac{k}{2}\left[(z-gy)^2-z^2\right],\qquad y=z+\varepsilon
$$

式中 $z$ 是微珠相对光阱中心的偏移，$y$ 是带高斯误差 $\varepsilon$ 的读数，$g$ 是增益。移动瞬间微珠来不及动，所以功就是势能的变化。

#### 高斯读数的互信息

$$
\langle I\rangle=\tfrac12\ln\!\left(1+\frac{\sigma_z^2}{\sigma_m^2}\right)
$$

它比较微珠位置的分布宽度 $\sigma_z$ 和测量误差 $\sigma_m$，单位是 nat。

#### Sagawa–Ueda 上限

$$
-\langle W\rangle\le k_{\mathrm B}T\,\langle I\rangle,\qquad \left\langle e^{-(\Delta s_{\mathrm{tot}}+I)}\right\rangle=1
$$

在稳态循环中，平均提取的功以信息量为上限。背后的等式对每个周期都严格成立，但它的平均值由少数误导性读数主导。

#### 充分等待时的最佳增益

$$
g^\ast=\frac{\mathrm{SNR}}{1+\mathrm{SNR}},\qquad \eta^\ast=\frac{\mathrm{SNR}}{(1+\mathrm{SNR})\ln(1+\mathrm{SNR})}
$$

其中 $\mathrm{SNR}=k_{\mathrm B}T/(k\sigma_m^2)$。只有读数非常模糊时，最佳增益下的效率才接近 1。

### 常见难点

#### 从单一热源取功

**容易误解** 从单一温度的水里取功违反第二定律。

**正确理解** 这台引擎靠信息驱动。记录读数、日后擦除记录，至少要花热能乘同样多的信息，合起来仍符合第二定律。

### 动手实验

1. 01

   #### 看一个周期

   看上方的大光阱：粉色线是读数，箭头是光阱的移动。

   **你会看到：** 读数准确时，移动后微珠处在更低的位置，这个周期就提取到功。下方每个小光阱是 64 台引擎之一。

2. 02

   #### 移过头

   选择“移过头反要付功”。

   **你会看到：** 光阱越过微珠，小珠子变红，平均功变成负值，尽管信息量与之前相同。

3. 03

   #### 自己当妖

   每当微珠偏离中心，就把光阱把手拖向它。

   **你会看到：** 又快又准的移动能取到功；随手乱拖则把功还给水。

物理结论

信息是一种热力学资源：它能换成功，但每个 nat 最多换一个热能。

## 相关实验与文章

随机热力学 · 阅读路径

### 从光阱里的珠子到用不可逆拉动求自由能

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **测量微珠位置再移动光阱，最多能提取多少功**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stochastic-thermodynamics/feedback-and-information/)

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)