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title: "落链秤盘与动量通量互动实验｜Sandbox Physics"
description: "为什么秤盘读数能超过已落部分的重量？秤盘还要让新来的向下动量停住。"
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last_modified: "2026-11-04"
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M040 · 重量之外，还有到来的动量

# 落链秤盘与动量通量

**为什么秤盘读数能超过已落部分的重量？** 秤盘还要让新来的向下动量停住。每秒到来的质量乘以到达速率，给出额外支持力，再加上已落部分的重量。理想连续链下端贴盘、从静止释放时，接收中的读数为已落部分重量的三倍；最后一段落完，只剩整条链的静态重量。

把连续链条落到固定秤盘上，同时观察已落部分重量、到达质量流率、停止动量通量和总支持力，看到最后一段落入后读数骤降。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

均匀连续柔链在均匀重力下竖直下落，下端从所选离盘间隙开始，也可带向下初速度。来料经完全非弹性接收立即停止，已落部分静止在零高度；不计算上游弯折张力、堆积高度、反弹、有限链环碰撞与传感器响应。三倍关系要求下端起初贴盘、整链从静止释放；释放间隙或初速度增加到达的动量，会改变这个倍数。Hamm 与 Géminard 的实验表明，真实链条底部可产生拉力，让下落快于自由落体，这里不含该效应。链环大小、支架和盘内堆放位置为示意，盘绕过程并未积分。支持力箭头平移到盘侧以便观看，不用于判断力矩。模型保留接收开始和结束时的理想力跃变，完整试验以八秒循环回放，时钟和曲线使用实际 SI 时间。

物理教程

## 秤盘还要停止到来的动量

**背景** 静止的一堆链条，需要秤盘托住它的重量。链条还在落入时，秤盘每秒还得消除新来链段带着的向下动量，这项动量变化率会抬高读数。

**为什么值得理解** 哈佛的 Chain on a scale 题解推导理想三倍关系；Hamm 与 Géminard 在二〇一〇年的实验中说明，有限弯曲半径与底部拉力怎样改变真实链条的下落。

先抓重点

- **核心问题**: 为什么读数能超过已经落到盘上的重量？
- **一句话直觉**: 每秒到来的质量，乘以接收时消除的速率，再加上已落部分的重量。

### 核心数学模型

#### 先算每秒有多少链条到来

$$
m_d=\lambda d,\qquad W_d=\lambda gd,\qquad q_{\rm in}=\lambda v
$$

链条均匀。这里的速率向下取正；导出动量平衡中的有向速度仍统一向上为正。

#### 托重与停止动量相加

$$
N=W_d+q_{\rm in}v=W_d+\lambda v^2
$$

接收发生在固定盘面，来料立即停止，并忽略向上游传递的弯折张力。这是秤盘的支持力，不是另一份重力。

#### 三倍关系成立的条件

$$
H=v_0=0:\quad v^2=2gd,\quad N=3W_d;\qquad t\ge t_{\rm end}:\quad N=\lambda Lg
$$

最后一段落入后，理想读数降到整链重量。初始间隙或初速度增加了到达动能，不再满足简单的三倍关系。

#### 再检查整条链的动量

$$
N-\lambda Lg=\frac{d}{dt}\left[-\lambda(L-d)v\right]
$$

只有尚未落入的部分还在运动。这个闭系统检验，与盘上部分“有质量流入、储存动量为零”的控制体计算一致。

### 常见难点

#### 示值量的是支持力

**容易误解** 链条突然获得了三倍引力质量。

**正确理解** 质量没有改变。额外支持力用来停止向下动量，来料结束后便消失。

#### 真实链条会向下拉上游

**容易误解** 任何真实链条都必须精确沿三倍曲线走。

**正确理解** 有限的最小弯曲半径能在底部产生拉力，让下落快于自由落体。这里单独研究完全柔软、无此张力的理想极限。

### 动手实验

1. 01

   #### 盯住最后一段

   从“三倍已落部分重量”开始，回放最后一段落入的前后。

   **你会看到：** 到达动量项突然结束，读数降到整条链的静态重量。

2. 02

   #### 给链条下方留一点空隙

   向上拖动释放夹，再回放新的试验。

   **你会看到：** 盘上还没有链条时，来料已经在空隙中获得速率，因此峰值超过零间隙极限。

3. 03

   #### 看看机械能怎样减少

   展开数据行里的“机械能去了哪里”。

   **你会看到：** 完全非弹性接收消耗机械能，剩余动能与重力势能减少；它们与接收损失相加，保持初始总量。

物理结论

三倍是一个理想极限。释放间隙或初速度会改变到达速率；全部落完后，额外的动量项消失。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)