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title: "矩阵乘积态压缩互动实验｜Sandbox Physics"
description: "一条量子自旋链，真正需要多少个数？如果纠缠不多，远少于全部振幅。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/entanglement-compression/"
last_modified: "2026-10-30"
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FR30-A · 只留下最强的 Schmidt 通道

# 矩阵乘积态压缩

**一条量子自旋链，真正需要多少个数？** 如果纠缠不多，远少于全部振幅。在链上任意一处切开，都能得到一组 Schmidt 权重；每处只留最大的几个，量子态就变成矩阵乘积态。有能隙的链每处只需几个，临界链需要更多，随机态几乎一个都省不掉。

把自旋链的量子态切成矩阵乘积态，拖动键维数线。看清保留了哪些 Schmidt 权重、整体误差有多大，以及哪些局域测量仍然吻合。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

量子态取开放横场 Ising 链的精确基态（8 到 14 个格点，用 Lanczos 对角化求得），另有一个固定种子的随机态作对照。压缩从左到右逐次做奇异值分解。范数误差与两条由舍弃的 Schmidt 尾部构成的精确界比较。关联函数直接由压缩后的向量计算，不另设模型。

误差随键维数的变化

中心切口的 Schmidt 权重

每处切口的纠缠熵

数值诊断与记录

$\chi=4$

所有数值都在浏览器中由精确态矢量及其压缩副本算出。记录保存各切口的 Schmidt 谱、舍弃权重和全部误差指标。

[继续学习：量子多体物理中的张量网络](https://sandboxphysics.com/zh/stories/tensor-networks/)

物理教程

## 矩阵乘积态压缩

**背景** 把一条自旋链分成左右两段。任何量子态都能写成“左态乘右态”之和，各项系数的平方就是 Schmidt 权重，加起来等于一。它们衡量两段纠缠得有多紧。

**为什么值得理解** 把一条链的全部振幅存下来，$L$ 个自旋就要 $2^L$ 个数。如果每一处切口的 Schmidt 权重都衰减得很快，这些数里大部分几乎不起作用，矩阵乘积态只留下真正要紧的部分。

先抓重点

- **核心问题**: 一条量子自旋链，真正需要多少个数？
- **一句话直觉**: 截断误差由每一处切口舍弃的 Schmidt 权重决定。局域测量往往比整体误差准得多，而链两端之间的关联更敏感。

### 核心数学模型

#### 在一处切口做 Schmidt 分解

$$
|\psi\rangle=\sum_{\alpha=1}^{r}\sqrt{\lambda_\alpha}\,|a_\alpha\rangle_{\rm L}\,|b_\alpha\rangle_{\rm R},\qquad \sum_{\alpha}\lambda_\alpha=1
$$

左态彼此正交归一，右态也是。把振幅排成矩阵，行对应左段构型、列对应右段构型，对它做奇异值分解就得到这些权重。

#### 矩阵乘积态

$$
\psi_{s_1s_2\cdots s_L}=A^{[1]s_1}A^{[2]s_2}\cdots A^{[L]s_L},\qquad A^{[j]s_j}\in\mathbb{C}^{\chi_{j-1}\times\chi_j}
$$

从左到右反复做这种分解，每个振幅都写成一串小矩阵的乘积。每处切口最多保留固定数目的 Schmidt 权重，这个数叫键维数，它限制了每个矩阵的大小。

#### 舍弃权重能保证什么

$$
\max_c\,\varepsilon_c(\chi)\le\lVert\psi-\tilde\psi\rVert^2\le2\sum_c\varepsilon_c(\chi),\qquad \varepsilon_c(\chi)=\sum_{\alpha>\chi}\lambda^{(c)}_\alpha
$$

在一处切口最多只有这么多 Schmidt 项的态，离原态不可能比该处的尾部权重更近，这给出下界。上界见 Schollwöck（2011）式 58。实验画出夹在两者之间的实测误差。

### 常见难点

#### 整体误差小，不等于处处误差小

**容易误解** 范数误差平方只有百万分之一，那每个测量量都同样精确。

**正确理解** 可观测量的误差随范数误差本身变化，而不是随它的平方；长程关联会用掉其中最大的一份。要直接检查你关心的那个量。

### 动手实验

1. 01

   #### 剪开临界链

   从“临界链：尾部衰减慢”开始，把金色剪刀线从上往下拖到键维数为一。

   **你会看到：** 橙色通道被舍弃。中心处剪掉的通道越多，范数误差平方越大；误差图中的实测值始终夹在两条界之间。

2. 02

   #### 对比有能隙的链

   选“有能隙的链：尾部衰减快”，再和临界链比较中心的 Schmidt 谱。

   **你会看到：** 权重衰减得快得多，每处只留两条通道误差就已经很小，每处的纠缠熵也更小。

3. 03

   #### 试试猫态与随机态

   选“猫态：一条通道不够”，把键维数从一调到二。最后看“随机态：没有短尾巴”。

   **你会看到：** 猫态恰好需要两条通道。随机态即使存的数几乎和全部振幅一样多，误差仍然很大。

物理结论

能压缩到什么程度，取决于每处切口的纠缠，而不是自旋的个数。

## 相关实验与文章

张量网络 · 阅读路径

### 张量网络与 DMRG：从纠缠到量子淬火

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **自旋链为什么会撑爆计算机，它的基态却不会**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/tensor-networks/many-spins-many-amplitudes/)
2. [实验 **DMRG 基态扫描** 用 DMRG 来回扫描，逼近基态能量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/dmrg-ground-state-sweeps/)
3. [文章 **一次矩阵分解，量出纠缠**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/tensor-networks/schmidt-decomposition/)
4. [文章 **把波函数变成一串小矩阵**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/tensor-networks/matrix-product-states/)
5. [文章 **剪断弱通道要付出多少误差**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/tensor-networks/truncation-and-local-errors/)

量子与场 · 入门路径

## 从一次测量开始

先预测结果，再数一数实际测到了什么。从一个量子比特出发，一路走到波包、束缚态和双光子干涉。

[从这里开始 → **量子态与 Born 测量** 先预测一个概率，转动分析器，再拿预测和多次测量得到的频率比一比。 观察 · 15 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
3. [3 波包传播与不确定性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
4. [4 量子谐振子态工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)
5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/quantum/#starter-path)