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title: "电子波长与加速电压互动实验｜Sandbox Physics"
description: "更高的加速电压是否总是更好？不是越高越好。电压越高，波长越短，分辨率越好；可电子也撞得更狠，传给原子的能量一旦超过敲出阈值，就会把原子撞离原位。最好选阈值以下最高的电压，同时还要有足够多电子不经散射穿过样品。"
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last_modified: "2026-10-25"
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E01 · 电子显微 / 基础

# 电子波长与加速电压

**更高的加速电压是否总是更好？** 不是越高越好。电压越高，波长越短，分辨率越好；可电子也撞得更狠，传给原子的能量一旦超过敲出阈值，就会把原子撞离原位。最好选阈值以下最高的电压，同时还要有足够多电子不经散射穿过样品。

调节加速电压，比较经典波长和相对论波长。同时看电子在碳薄膜里怎样散射，以及一个电子最多能把多少能量交给碳原子。目标是找到尽可能短的波长：最大转移能量仍低于所选的敲出阈值，并且至少 40% 的电子不散射，直接穿过薄膜。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

自由电子运动学按精确的相对论关系计算；最大能量转移把碳-12 原子核按重核近似处理。衰减规律和归一化的前向角分布都是教学假设，没有用实测截面，也不模拟背散射、吸收或 Monte Carlo 输运。衍射读数是理想圆形光阑给出的尺度。转移能量低于敲出阈值，样品仍可能发生辐解、充电或受热。

物理教程

## 更高的加速电压是否总是更好？

**背景** 调节加速电压，比较经典波长和相对论波长。同时看电子在碳薄膜里怎样散射，以及一个电子最多能把多少能量交给碳原子。目标是找到尽可能短的波长：最大转移能量仍低于所选的敲出阈值，并且至少 40% 的电子不散射，直接穿过薄膜。

**为什么值得理解** 读懂一张电子显微图像之前，先要知道电子源、透镜光学柱和样品本身各自限制了什么。

先抓重点

- **核心问题**: 加速电压是不是越高越好？
- **一句话直觉**: 波长短和样品保得住是两个独立的要求。低于敲出阈值，只能排除敲出事件，排除不了其他损伤。

### 核心数学模型

#### 相对论波长

$$
\lambda=\frac{h}{\sqrt{2m_e eV\left(1+\frac{eV}{2m_e c^2}\right)}}
$$

物质波波长由动量决定，不能用经典速度估计替代。

#### 理想衍射尺度

$$
d_{\mathrm{diff}}=0.61\lambda/\alpha
$$

这个尺度不考虑源尺寸、像差、剂量和探测器采样。

#### 重核能量转移

$$
\begin{gathered}T_{\max}\simeq\frac{2K(K+2m_ec^2)}{Mc^2}\\K=eV\end{gathered}
$$

靶核固定为碳-12。阈值可以调，它是一个假设，并不是所有碳材料共有的性质。

#### 薄膜中的未散射比例

$$
\begin{gathered}P_0=\exp(-t/\ell)\\\ell=80\,\mathrm{nm}\left(\frac{V}{100\,\mathrm{kV}}\right)^{0.65}\end{gathered}
$$

衰减长度及其随电压的变化是为教学比较选定的，不是经过标定的截面模型。

#### 前向散射角分布

$$
\begin{gathered}f(\theta)=\frac{\kappa e^{\kappa(\cos\theta-1)}}{2\pi(1-e^{-\kappa})}\\0\leq\theta\leq\pi/2,\quad\kappa=s^{-2}\end{gathered}
$$

这是人为选定的每球面度概率密度，绕束轴对称，在前半球上归一化。尺度参数以弧度计，只有角度很小时才近似等于横向高斯宽度。它不是碳的散射截面。

#### 到达收集面的概率

$$
\begin{gathered}\beta=\arctan(R/L)\\C=P_0+(1-P_0)F(\beta)\\F(\beta)=2\pi\int_0^\beta f(\theta)\sin\theta\,d\theta\end{gathered}
$$

未散射电子沿轴线前进，全部落在居中的理想圆盘上。圆盘也会接到一部分散射电子，所以收集到的电子里未散射的占比，并不等于入射束中未散射的比例。

### 常见难点

#### 低于阈值也有损伤

**容易误解** 低于敲出阈值的束流不会损伤样品。

**正确理解** 辐解、加热、污染和充电仍会损伤样品，描述它们需要另外的材料模型和剂量模型。

#### 有限探测器收集了什么

**容易误解** 有限探测器收集比例就是从未散射的比例。

**正确理解** 有限探测器也会接到一部分散射电子。图中心的小点代表未散射电子，它窄到无法分辨；周围按固定对数色标画出的密度不包括这一点。这里不模拟噪声、探测效率或实测计数。

### 动手实验

1. 01

   #### 预测电压的影响

   先预测从 80 kV 升到 300 kV 时，波长和能量转移怎样变化，再比较两个场景。

   **你会看到：** 波长变短，最大转移能量变大。

2. 02

   #### 逼近敲出阈值

   让转移能量低于假定阈值，但不少于阈值的 85%；未散射比例至少 40%。然后点击“核对目标”。

   **你会看到：** 这个任务要在样品的两条限制内追求更短的波长：一条限制能量转移，一条限制未散射比例。

3. 03

   #### 检验经典近似

   在高电压下关掉相对论模型，再加厚薄膜。

   **你会看到：** 经典波长比相对论值长。薄膜越厚，未散射的电子越少。

4. 04

   #### 移动收集面

   把收集面移远，比较收集概率、漏收概率和收集到的电子中未散射的占比，再改变会聚半角。

   **你会看到：** 收集概率下降，波长、薄膜衰减和敲出阈值比较都不变。会聚角只改变单独给出的理想衍射尺度。

物理结论

电压越高，波长越短，但每个电子能交给原子的最大能量也越大；低于敲出阈值只排除敲出事件。

入门路径 · 第 3 / 6 步

## 从电场到电子显微镜

[下一步 → **电子衍射与倒空间** 倾转薄晶体，采集一张衍射图，把某个衍射斑的半径和预测值比一比；再把相机长度减半。 建模 · 20 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electron-diffraction/)

1. [1 看见电场](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electric-field/)
2. [2 电荷在场中转弯](https://sandboxphysics.com/zh/labs/charged-particle/)
3. [3 电子波长与加速电压](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electron-wavelength/)
4. [4 电子衍射与倒空间](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electron-diffraction/)
5. [5 TEM 明场、暗场与选区衍射](https://sandboxphysics.com/zh/labs/tem-mode-selector/)
6. [6 SEM 二次电子表面形貌](https://sandboxphysics.com/zh/labs/sem-topography/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/fields-and-matter/#starter-path)