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title: "电子散射与平均自由程互动实验｜Sandbox Physics"
description: "样品要多薄，才能避免多次散射？要比非弹性平均自由程薄得多。这个长度是电子平均走多远才损失一次能量；样品比它薄，多数透射电子最多只损失一次能量。全部透射电子数除以零损失电子数，再取对数，就能估出厚度；能量范围没取全或计数太少，结果都会偏。"
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last_modified: "2026-10-25"
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E06 · 电子显微 / 样品物理

# 电子散射与平均自由程

**样品要多薄，才能避免多次散射？** 要比非弹性平均自由程薄得多。这个长度是电子平均走多远才损失一次能量；样品比它薄，多数透射电子最多只损失一次能量。全部透射电子数除以零损失电子数，再取对数，就能估出厚度；能量范围没取全或计数太少，结果都会偏。

模拟一次电子穿过薄片的散射记录。比较全部电子和零损失电子的角分布，读出存下的能损谱，再看收集角和截短的能量窗怎样改变表观厚度比。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

这个教学模型把角度散射和能损事件当作彼此独立，能损次数服从 Poisson 分布，平均自由程取示意值，每次损失固定 16 eV。探测器是同时记录角度和能损的理想计数器，不模拟分析器场和真实的角度能损耦合，也没有材料标定。有序开关只改变一个假定的散射率。有限谱窗得到的只是表观比值；计数误差不包括谱窗截断带来的偏差。

物理教程

## 零损失谱何时能给出有用的厚度比？

**背景** EELS 用全部透射电子与零损失电子之比来估计薄片厚度。采集一组模拟记录，比较零损失电子和全部记录电子，再从存下的能损谱读出表观非弹性厚度比。

**为什么值得理解** 明亮的中心斑里，也可能有发生过弹性偏转的电子。能损谱漏掉高能损计数，厚样品就会显得更薄。

先抓重点

- **核心问题**: 同一样品，缩短能量窗后为什么可能得到不同的对数比？
- **一句话直觉**: 零损失不等于没散射。收集角之所以能从理想完整谱的比值里消掉，只是因为本模型假定角度和能损互相独立。

### 核心数学模型

#### 独立的非弹性事件

$$
P_n=\frac{\mu^n e^{-\mu}}{n!},\quad\mu=\frac{t}{\ell_i}
$$

每次事件固定损失 16 eV。自由程和有序散射率开关都只是示意，不用材料截面，也不含动力学衍射。

#### 由计数算出的表观比值

$$
\widehat{\mu}_{\mathrm{app}}=\ln\!\left(\frac{I_W}{I_0}\right)
$$

分子是窗内记录计数之和，分母是其中的零损失部分。估计不读取样品输入，也不用理想谱。没有记录到零损失计数时，比值显示为暂无数据，不补伪计数。

#### 谱窗截短带来的偏差

$$
\mu_{\mathrm{app}}\longrightarrow\mu+\ln C_W,\quad C_W=\sum_{n=0}^{m}P_n
$$

计数很多时，表观比值趋向这个极限；只要谱窗漏掉一部分能损，它就小于假定的非弹性厚度比。加长曝光能降低计数噪声，却消除不了这个偏差。

#### 计数误差的近似

$$
\widehat{\sigma}_{\mu}=\sqrt{\frac{1}{I_0}-\frac{1}{I_W}}
$$

零损失计数本身就是窗内计数的一部分，两者相关。这个 delta 方法标准误只在零损失计数至少 20、且有能损计数时显示。它不保证置信度，也不涵盖谱窗截断、模型和材料标定带来的误差。

### 常见难点

#### 光阑不是能量过滤器

**容易误解** 中心角斑中的电子一定都是零损失。

**正确理解** 本模型里，电子可以损失能量而不发生弹性偏转，于是仍落在中心斑内。同一个角像素里，可能同时有零损失计数和非弹性计数。

#### 模拟探测器省略了什么

**容易误解** 场景里是真实的角度能量联合探测器，或经标定的 EELS 分析器。

**正确理解** 探测器是理想化的：准确标出每个电子的角度，并数出它损失了几次能量。不模拟分析器色散、有限能量分辨率、真实的角度能损耦合、探测效率、饱和、相干衍射和材料标定。图中的轨迹画在一个等效的中心散射面上，偏角经过放大。

### 动手实验

1. 01

   #### 预测并采集

   载入“薄样品”和“多次散射”预设，比较已存能损谱、零损失计数和单独给出的假定厚度比。

   **你会看到：** 两张角分布图和能损谱来自同一批记录电子；零损失图只是其中一部分，不是另外生成的。

2. 02

   #### 改设置，不动数据

   先只改显示增益。再改“收集半角”或“样品厚度”，点“采集计数”让新设置生效。

   **你会看到：** 重新采集之前，新设置不会改动已存记录、仪器图和读数。增益只改变角分布图的对数显示。

3. 03

   #### 找出谱窗截短的偏差

   载入“截短能损谱”预设，调高“记录能损上限”后重新采集，比较表观比值和覆盖率。

   **你会看到：** 由计数算出的数看着合理，仍可能因为漏掉能损而偏低。样品极厚时可能一个零损失计数都没有，这时比值无法给出。

4. 04

   #### 完成任务

   用厚度合适的薄样品和几乎覆盖整个能损谱的谱窗，达到计数和收集目标。

   **你会看到：** 这些阈值只是教学目标。计数够了，并不代表测出的材料厚度就可靠。

物理结论

估计值用存下的计数来算；下结论之前，先看计数够不够，再看单独给出的谱窗覆盖预测。

场、流体与物质 · 入门路径

## 从电场到电子显微镜

先看懂电场、学会操控带电粒子，再算出电子的波长，用电子束观察晶体和表面。

[从这里开始 → **看见电场** 在偶极子周围移动探针，看电场是不是总指向电势地形的下坡方向。 观察 · 8 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electric-field/)

1. [1 看见电场](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electric-field/)
2. [2 电荷在场中转弯](https://sandboxphysics.com/zh/labs/charged-particle/)
3. [3 电子波长与加速电压](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electron-wavelength/)
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5. [5 TEM 明场、暗场与选区衍射](https://sandboxphysics.com/zh/labs/tem-mode-selector/)
6. [6 SEM 二次电子表面形貌](https://sandboxphysics.com/zh/labs/sem-topography/)

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