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title: "电子衍射与倒空间互动实验｜Sandbox Physics"
description: "哪些倒易点会变成探测器上的斑点？足够靠近 Ewald 球的那些。晶体很薄时，每个倒易点被拉长成一根短杆，倾转晶体就会改变哪些杆与球面相交。相机长度只按比例改变斑点离中心多远，不改变出现哪些斑点。"
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last_modified: "2026-10-25"
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E10 · 电子采集 / 衍射

# 电子衍射与倒空间

**哪些倒易点会变成探测器上的斑点？** 足够靠近 Ewald 球的那些。晶体很薄时，每个倒易点被拉长成一根短杆，倾转晶体就会改变哪些杆与球面相交。相机长度只按比例改变斑点离中心多远，不改变出现哪些斑点。

倾转一块薄晶体，采集电子计数，量出已知衍射斑点或粉末环的半径，再和几何预测对比。然后把相机长度减半，重新曝光。计数太少、峰重叠、像素饱和，都会限制能测到的结果。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

这是教学模型：单原子简单立方薄片，只算零级倒易杆和单次散射。散射电子最多占 12%，这是人为设定的上限；各斑点的相对权重不代表材料截面。理想粉末对所有取向取平均，不考虑薄片厚度。模拟探测器假定单位效率，计数按 Poisson 分布抽样，均值高时改用近似；另有指定的 0.2 mm 高斯模糊，每个像素最多记 65,535 个计数。模型不含读出噪声、束流损伤、动力学散射、真实材料结构因子、织构和相机标定误差。半径只在已知 100 参考位置周围的窗口里测量，只有已索引的粉末环能换算成 Bragg 晶面间距；预测值另行显示。中继透镜和画出的电子路径都是示意，探测器坐标共用一个固定视野。

物理教程

## 哪些倒易点会变成探测器上的斑点？

**背景** 倾转一块薄晶体，采集电子计数，量出某个已知衍射斑点或粉末环的半径，再和几何预测比一比。然后把相机长度减半，重新曝光。计数太少、峰重叠、像素饱和，都会限制能测到的结果。

**为什么值得理解** 理想图里的斑点再亮，也不代表这次曝光真的收到了够用的计数。

先抓重点

- **核心问题**: 哪些倒易点会变成探测器上的斑点？
- **一句话直觉**: 改相机长度，斑点离中心的距离跟着变，散射角不变。先从记录下的计数量出半径，再和单独标出的理想参考对比。单晶倾转后，倒易杆和 Ewald 球的交点一般偏离 Bragg 条件，不能直接反推晶面间距；这里只换算事先索引好的粉末环。

### 核心数学模型

#### 倒空间里的弹性散射条件

$$
\lvert\mathbf k_0+\mathbf g+\delta\mathbf n\rvert=\lvert\mathbf k_0\rvert,\quad \lvert\mathbf k_0\rvert=\lambda^{-1}
$$

空间频率按每单位长度的周期数计，不乘二倍圆周率。倒易杆沿薄片法向伸展，在它和球面相交的地方，电子能量不变。

#### 有限厚度薄片的斑点强度

$$
I_{hk}\propto e^{-0.16(h^2+k^2)}\operatorname{sinc}^{2}(\pi t\delta),\quad \operatorname{sinc}(u)=\frac{\sin u}{u}
$$

杆偏移沿倾转后的薄片法向量取，正负号按这里的交点来定。传统激发误差的符号沿束轴定义，两者不是一回事。指数前因子只是教学假设。

#### 散射束落在探测器上的位置

$$
x_D=L\frac{q_x}{k_0+q_z},\quad y_D=L\frac{q_y}{k_0+q_z},\quad 2d\sin\theta_B=\lambda
$$

探测器坐标以 mm 计。相机长度已经把投影镜的放大算了进去。理想粉末的散射角是 Bragg 角的两倍。

#### 由计数计算半径

$$
\bar{\mathbf r}=\frac{\sum_{j\in\mathcal W}n_j\mathbf r_j}{\sum_{j\in\mathcal W}n_j},\quad \bar R_{\mathrm{ring}}=\frac{\sum_{j\in\mathcal W}n_j\lvert\mathbf r_j\rvert}{\sum_{j\in\mathcal W}n_j}
$$

斑点半径取按计数加权的质心向量长度，粉末环取按计数加权的平均径向距离。分析窗口按已知参考放好，程序并不自己找峰、标指数。测量值来自像素坐标，不来自预测位置。

#### 用已索引的粉末环求晶面间距

$$
d_{100}=\frac{\lambda}{2\sin\!\left[\frac12\arctan(\bar R_{\mathrm{ring}}/L)\right]},\quad \frac{\sigma_N}{N}\approx N^{-1/2}
$$

精确换算角度时，假定这个环就是简单立方的第一个壳层，而且相机长度准确。总计数的散粒噪声不是晶面间距的置信区间。计数不够、峰重叠或像素饱和时，不给出测量值。

### 常见难点

#### Ewald 球有多大

**容易误解** Ewald 球应该是包住倒易点的一颗小球。

**正确理解** 200 keV 时，它的半径约为每 nm 399 个周期，比图中的倒易点间距大得多。单独的 Ewald 图横向和轴向量程不同，这样才看得出那一点弯曲；它只是示意图，不是探测器表面。

#### 预测半径和实测半径

**容易误解** 没有可用曝光，半径读数仍然可靠。

**正确理解** 预测半径和由计数测得的半径分开显示。要给出实测半径，窗口必须在收集角之内、和别的峰分得开，里面至少有 100 个计数，并且没有饱和像素。这些门槛是为教学设定的，不是置信界限。

### 动手实验

1. 01

   #### 拍一张可用的曝光

   载入“近晶带轴”，点“核对已存数据”，看已存曝光是否达标。再改倾角或方位角，重新采集。预测摇摆曲线按已存曝光的方位角绘制。

   **你会看到：** 探测器上显示的是已保存的模拟计数。调采集控件只是在设定下一次曝光；不重新采集，记录下的几何和结果就不会变。

2. 02

   #### 把相机长度减半

   记下由计数测得的半径，载入“相机长度减半”后对比。再切到粉末，看已索引的环换算出的晶面间距。

   **你会看到：** 半径差不多减半，粉末测出的间距仍接近已知晶格常数。探测器模糊、有限采样和噪声，让两者对不到完全相等。

3. 03

   #### 找出测量失败的情形

   依次载入“计数不足”“像素饱和”“峰重叠”。调高显示增益，再点一次“核对已存数据”。

   **你会看到：** 画面调亮了，计数不会变多，重叠的峰分不开，被截断的像素也补不回来。目标检查不通过，也不给出半径。

物理结论

改相机长度，斑点离中心的距离跟着变，散射角不变。先从记录下的计数量出半径，再和单独标出的理想参考对比。单晶倾转后，倒易杆和 Ewald 球的交点一般偏离 Bragg 条件，不能直接反推晶面间距；这里只换算事先索引好的粉末环。

入门路径 · 第 4 / 6 步

## 从电场到电子显微镜

[下一步 → **TEM 明场、暗场与选区衍射** 移动物镜光阑，让一个晶粒在暗场中变亮；再记录它的选区衍射。 比较 · 20 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/tem-mode-selector/)

1. [1 看见电场](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electric-field/)
2. [2 电荷在场中转弯](https://sandboxphysics.com/zh/labs/charged-particle/)
3. [3 电子波长与加速电压](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electron-wavelength/)
4. [4 电子衍射与倒空间](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electron-diffraction/)
5. [5 TEM 明场、暗场与选区衍射](https://sandboxphysics.com/zh/labs/tem-mode-selector/)
6. [6 SEM 二次电子表面形貌](https://sandboxphysics.com/zh/labs/sem-topography/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/fields-and-matter/#starter-path)