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title: "电子分辨率与像差预算互动实验｜Sandbox Physics"
description: "校正球差之后，又是什么限制探针的大小？剩下各项里最大的那一项，比如色差、源尺寸、漂移或振动。校掉一种像差，最佳光阑也跟着变，下一个限制就露出来了。新的分辨率下限在哪，只能逐项去查。"
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last_modified: "2026-10-25"
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E04 · 电子显微 / 基础

# 电子分辨率与像差预算

**校正球差之后，又是什么限制探针的大小？** 剩下各项里最大的那一项，比如色差、源尺寸、漂移或振动。校掉一种像差，最佳光阑也跟着变，下一个限制就露出来了。新的分辨率下限在哪，只能逐项去查。

调节光阑，逐项打开或关闭球差、色差、源尺寸、漂移、振动和像散。对照三样东西：径向相位（传递曲线也用它）、模糊预算的高斯参考，以及被光阑截止的弱相位传递。选一个测试频率，再改变能量展宽，分清哪部分是色差造成的衰减，哪部分是光阑截掉的。把光阑调到离这套预算下最优探针不超过 10% 的位置，然后打开校正，看剩下的极限来自哪里。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

探针尺寸来自工程上的模糊预算，用峰值归一的高斯图示意，不是相干点扩散函数。校正后保留百分之一的球差，外加固定的 10 mm 五阶项。另有一条轴上弱相位参考，用同一个半角作硬光阑截止；它的相位包含离焦（欠焦记为正）以及三阶和五阶球差。能量宽度取高斯半高全宽，决定色差引起的焦距展宽。源尺寸、漂移和振动都按高斯图像模糊处理，以半高全宽给出。这里不模拟采集图像、源的角向相干、像散相位、透镜不稳定性、样品或探测器。光线误差和硬件都是示意；相位颜色按周期回绕，并按显示分辨率采样。

物理教程

## 校正球差之后，又是什么限制探针的大小？

**背景** 调节光阑，逐项打开或关闭球差、色差、源尺寸、漂移、振动和像散。对照径向相位、模糊预算的高斯参考和被光阑截止的弱相位传递。把光阑调到离这套预算下最优探针不超过 10% 的位置，再打开校正，看剩下的极限来自哪里。

**为什么值得理解** 读懂一张电子显微图像之前，先要知道电子源、透镜光学柱和样品本身各自限制了什么。

先抓重点

- **核心问题**: 校正球差之后，又是什么限制探针的大小？
- **一句话直觉**: 校正掉一种像差，最佳光阑就会移动，下一项最大的模糊随即显露出来。模糊预算估计探针有多大，带符号的 CTF 说明各个空间频率怎样传递，两者回答不同的成像问题。

### 核心数学模型

#### 各项模糊按平方和合成

$$
\begin{aligned}d^2={}&d_{\mathrm{diff}}^2+d_{\mathrm{sph}}^2+d_{\mathrm{chr}}^2\\&+d_s^2+d_{\mathrm{drift}}^2+d_v^2+d_a^2+d_5^2\end{aligned}
$$

每一项都是特征直径；按平方和合成是一种工程近似。

#### 光阑角对各项的影响

$$
\begin{aligned}d_{\mathrm{diff}}&=0.61\lambda/\alpha\\d_{\mathrm{sph}}&=C_s\alpha^3/2\\d_{\mathrm{chr}}&=C_c\alpha\Delta E/E\end{aligned}
$$

光阑角越大，衍射项越小，像差项越大。

#### 校正后的残差

$$
\begin{aligned}C_{s,\mathrm{res}}&=0.01C_s\\d_5&=C_5\alpha^5\\C_5&=10\,\mathrm{mm}\end{aligned}
$$

这些残差数值只是示意，不代表任何商业校正器的性能。

#### 弱相位传递函数

$$
\begin{aligned}\chi(q)={}&-\pi\Delta f\lambda q^2\\&+\frac{\pi C_s\lambda^3q^4}{2}\\&+\frac{\pi C_5\lambda^5q^6}{3}\\T(q)&=-A(q)E_t(q)E_b(q)\sin\chi(q)\end{aligned}
$$

欠焦记为正。瞳面图显示的是同一个径向相位。硬光阑只让所选半角以内的频率通过；只有打开球差校正时才加入五阶项。这条带符号的弱相位参考和探针直径预算分开计算，不含像散相位。

#### 高斯相干包络

$$
\begin{aligned}\sigma_f&=\frac{C_c\Delta E}{E\sqrt{8\ln2}}\\E_t(q)&=\exp[-(\pi\lambda\sigma_f q^2)^2/2]\\E_b(q)&=\exp[-2\pi^2\sigma_b^2q^2]\end{aligned}
$$

能量展宽以半高全宽给出，先换算成焦距的标准差。另一个图像模糊标准差，由源、漂移和振动的半高全宽按平方和合成后换算。两种包络都不是实测的信息极限。

### 常见难点

#### 校正器去不掉的限制

**容易误解** 打开校正器会消除所有分辨率限制。

**正确理解** 源尺寸、能量展宽、漂移、振动和高阶残差依然是限制。

### 动手实验

1. 01

   #### 找到最佳光阑

   比较窄光阑和宽光阑两个场景，预测最佳角度。再把探针调到最优值的 10% 以内，点击“核对目标”。

   **你会看到：** 最佳光阑在两者之间，衍射和像差在这里互相平衡。

2. 02

   #### 找出剩下的极限

   打开校正，再逐一关闭色差、漂移和源尺寸项。

   **你会看到：** 即使球差已经很小，剩下的其他项仍会限制校正后的探针。

3. 03

   #### 观察对比反转

   让离焦量在正负之间变化。选一个测试频率，收小光阑直到它被截掉，再打开光阑并增大能量展宽。

   **你会看到：** 离焦改变相位，但不改变直径预算。光阑外的传递严格为零；光阑内，色差仍会让包络衰减。

物理结论

校正掉一种像差，最佳光阑就会移动，下一项最大的模糊随即显露出来。模糊预算估计探针有多大，带符号的 CTF 说明各个空间频率怎样传递，两者回答不同的成像问题。

场、流体与物质 · 入门路径

## 从电场到电子显微镜

先看懂电场、学会操控带电粒子，再算出电子的波长，用电子束观察晶体和表面。

[从这里开始 → **看见电场** 在偶极子周围移动探针，看电场是不是总指向电势地形的下坡方向。 观察 · 8 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electric-field/)

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