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title: "用到时给地震定位，以及误差椭圆互动实验｜Sandbox Physics"
description: "几个台站的到时，怎样确定地震从哪里开始？又能有多大把握？每个台站给出一个到时，能同时解释所有到时的震源位置和发震时刻就是定位结果，靠反复的线性修正求出。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/earthquake-location/"
last_modified: "2026-10-31"
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FR36-B · Geiger 方法与置信区域

# 用到时给地震定位，以及误差椭圆

**几个台站的到时，怎样确定地震从哪里开始？又能有多大把握？** 每个台站给出一个到时，能同时解释所有到时的震源位置和发震时刻就是定位结果，靠反复的线性修正求出。台站把地震围在中间时误差椭圆很小，都在一侧时椭圆被拉长；但椭圆不包含波速假设本身的误差。

一组固定种子的地震发生在小台网里。每个地震都用带噪声的 P、S 到时做迭代最小二乘定位，并画出 95% 误差椭圆。拖动台站或震源，看椭圆怎样被拉长。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

均匀半空间，P 波速 6 km/s，S 波速 3.46 km/s（P 波速除以根号 3）；直射线，地表平坦。到时等于真实走时加上固定种子的高斯噪声，S 到时的噪声是 P 的两倍（假设）。定位用 Geiger 线性化最小二乘，加 Levenberg–Marquardt 阻尼，与 HYPO71 和 HYPOINVERSE 的做法相同。椭圆由线性化协方差和两个自由度的卡方分位数给出，因此不含模型误差；“速度模型错了”这一预设正是展示这种情况。网格搜索图是对同一失配函数的独立检验。

最新地震：到时与拟合的走时曲线

- P 波到时与模型曲线
- S 波到时与模型曲线

累计检验：椭圆包含真值的比例

- 模拟事件
- 名义值 0.95，及两倍标准误的波动带

最新估计附近的网格搜索失配

- Geiger 估计及其 95% 椭圆
- 网格搜索最小值
- 真实震中

更多读数与模型记录

- **估计深度**
- **真实深度**
- **深度 95% 半宽**
- **椭圆短半轴**
- **椭圆长轴方位角**
- **发震时刻误差**
- **Geiger 迭代次数**
- **使用的到时数**
- **网格搜索与 Geiger 结果之差**
- **假设的 P 波速**

记录保存每个到时、估计位置、协方差，以及真值是否落在椭圆内。

[继续学习：从地震波到反演的地震成像](https://sandboxphysics.com/zh/stories/seismic-imaging/)

物理教程

## 用到时给地震定位，以及误差椭圆

**背景** 地震从某一点、某一时刻开始。P 波和 S 波从那里传开，到达各台站的时间取决于距离和波速。地震学家从记录上读出这些到时，称为拾取。

**为什么值得理解** 描述震源要四个未知数：东、北、深度和发震时刻 $t_0$。每个到时提供一个方程，但走时通过平方根依赖距离，方程不是线性的。

先抓重点

- **核心问题**: 几个台站的到时，怎样确定地震从哪里开始？又能有多大把握？
- **一句话直觉**: 在试探位置附近线性化，问题就变成求一个小修正的最小二乘；重复几次即收敛。同一个矩阵还给出协方差和误差椭圆，但椭圆只在速度模型正确时才可信。

### 核心数学模型

#### 均匀半空间中的走时

$$
t_i=t_0+\frac{\sqrt{(x_i-x)^2+(y_i-y)^2+z^2}}{v}
$$

台站 $i$ 位于地表，$v$ 是 P 波或 S 波的波速。

#### 一步 Geiger 迭代

$$
\mathbf G\,\Delta\mathbf m\approx\mathbf r,\qquad \Delta\mathbf m=\left(\mathbf G^{\mathsf T}\mathbf G+\lambda\operatorname{diag}\mathbf G^{\mathsf T}\mathbf G\right)^{-1}\mathbf G^{\mathsf T}\mathbf r
$$

$\mathbf G$ 是各走时对四个未知数的偏导数，$\mathbf r$ 是残差。阻尼 $\lambda$ 只在完整一步会让失配变大时才增大，试探点偏得远时，前几步因此不会跨得太大。

#### 95% 震中椭圆

$$
\mathbf C=\sigma^2\left(\mathbf G^{\mathsf T}\mathbf G\right)^{-1},\qquad \Delta\mathbf x^{\mathsf T}\mathbf C_{xy}^{-1}\Delta\mathbf x\le\chi^2_{2}(0.95)=5.99
$$

协方差的水平分块定义一个椭圆；半轴等于其特征值平方根的 2.45 倍。

### 常见难点

#### 深度最难定

**容易误解** 震中定得准，深度也一定准。

**正确理解** 台站都很远时，深度与发震时刻相互抵换。S 到时或离震中近的台站能打破这种抵换；试试“只有 P 到时：深度松动”。

### 动手实验

1. 01

   #### 老实检验椭圆

   从“环形台网：椭圆很小”开始，看覆盖率图逐渐填满。

   **你会看到：** 每 100 个真实震中约有 95 个落在各自的椭圆里，处于抽样波动带之内。

2. 02

   #### 把台站移到一侧

   选“台站都在一侧”，或自己把台站拖到左边。

   **你会看到：** 椭圆沿台网到地震的方向被拉长：方向比距离约束得好。

3. 03

   #### 让速度模型出错

   选“速度模型错了”，再把波速误差拉回零。

   **你会看到：** 波速错 5% 时椭圆看上去仍然很小，但包含真值的比例低于 95%。椭圆只衡量到时噪声。

物理结论

定位就是对到时做最小二乘；椭圆如实反映噪声，却对模型误差一无所知。

## 相关实验与文章

地震成像 · 阅读路径

### 地震波与地下成像：从岩层界面到层析成像

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **用 P 波和 S 波到时给地震定位**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/seismic-imaging/locating-an-earthquake/)
2. [文章 **地震定位的误差椭圆，以及它没算进去的误差**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/seismic-imaging/error-ellipses-and-model-error/)

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)