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title: "受迫共振与相位滞后互动实验｜Sandbox Physics"
description: "受迫振动时，振幅最大和吸收功率最大，在同一个频率吗？稍微错开一点。有阻尼时，位移振幅在略低于固有频率处达到峰值。从驱动吸收的功率恰好在固有频率处最大，运动比驱动落后四分之一周期，也正好在这里。测这些量之前，要等起振时的瞬态衰减干净。"
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last_modified: "2026-10-22"
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M064 · 振动 / 频率响应

# 受迫共振与相位滞后

**受迫振动时，振幅最大和吸收功率最大，在同一个频率吗？** 稍微错开一点。有阻尼时，位移振幅在略低于固有频率处达到峰值。从驱动吸收的功率恰好在固有频率处最大，运动比驱动落后四分之一周期，也正好在这里。测这些量之前，要等起振时的瞬态衰减干净。

驱动器用正弦力推动一个连着弹簧和阻尼器的质量块。拖动频率游标，看启动瞬态怎样消退，再用三个完整驱动周期测出振幅和相位。扫过十九次各自独立的数值实验，与解析响应曲线对比，同时记录驱动做功、耗散和储能。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

质量块在水平轨道上运动，连着一根遵守胡克定律的无质量弹簧，受线性黏性阻尼，阻尼系数为正。驱动器直接施加模型里的正弦力，不移动弹簧的固定端。画面长度按算出的完整运动范围缩放。驱动器、箭头、弹簧等硬件都是示意，不计算碰撞，也不计算弹簧丝的形变。位移和吸收功率在不同频率达到峰值；显示的带宽是吸收功率半峰宽的精确值。三个周期的傅里叶测量仍可能混有瞬态，残差衡量的是信号里不属于驱动频率正弦的部分，不是测量不确定度。每个扫描点至少等待八个标称衰减时间，但最多等 200 秒。解析响应是经过无限长时间后的稳态。

物理教程

## 把共振与启动过程分开

**背景** 周期驱动不断输入能量，阻尼不断把能量带走。运动由两部分叠加而成：逐渐衰减的启动瞬态，和以驱动频率振动的稳态响应。只看振幅，会漏掉相位和功率平衡。

**为什么值得理解** 受迫振动的理论参照 OpenStax《University Physics》第一卷第 15.6 节。本实验像真实测量一样得到响应曲线：十九次独立的数值模拟，每次都用三个周期的傅里叶分析来测量。

先抓重点

- **核心问题**: 位移峰值在哪里，功率峰值在哪里，测得的响应已经稳定了吗？
- **一句话直觉**: 频率响应要看测的是哪个量。先等瞬态消退，检查投影残差，再同时比较相位和振幅。

### 核心数学模型

#### 复频率响应

$$
m\ddot x+c\dot x+kx=F_0\sin(\omega t),\quad A=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+c^2\omega^2}}
$$

这个解析振幅属于无限长时间后的稳态解。实际运动还叠加着一个瞬态，由初始位移和初速度决定。

#### 相位与位移峰值

$$
\phi=\operatorname{atan2}(c\omega,k-m\omega^2),\quad\omega_{\mathrm{peak}}=\omega_0\sqrt{1-2\zeta^2}\quad(\zeta<1/\sqrt2)
$$

位移落后于力。阻尼超过图中给出的阈值后，振幅从零频开始一路下降。寻峰只在显示的扫描区间里找，所以可能停在区间的下边界。

#### 功率共振与带宽

$$
\overline P=\frac{F_0^2c\omega^2}{2[(k-m\omega^2)^2+c^2\omega^2]},\quad\Delta\omega_{P}=\frac cm,\quad Q=\frac{m\omega_0}{c}
$$

即使位移峰在别处，吸收功率也在固有频率处最大。功率曲线的精确半峰宽和位移曲线的半高宽不是一回事。显示的带宽已从角频率换算成每秒周期数。

#### 三个周期的测量与能量收支

$$
\widehat A=\sqrt{a_s^2+a_c^2},\quad\widehat\phi=\operatorname{atan2}(-a_c,a_s),\quad E-E_0-W_{\mathrm{drive}}+Q=0
$$

正弦和余弦投影只用最近三个完整驱动周期，每个周期在 128 个均匀分布的相位上取样。残留的启动瞬态会让结果失真，并出现在非谐波残差里。做功和耗散各自独立积分。

### 常见难点

#### 两种不同的共振峰

**容易误解** 位移与吸收功率必须在同一频率达到峰值。

**正确理解** 加大阻尼，再找位移峰。功率峰仍在固有频率；阻尼足够强时，位移曲线在零频以上就没有峰了。

#### 完整窗口仍可能包含瞬态

**容易误解** 三个完整周期自动意味着测到了稳态。

**正确理解** 早测一次，晚测一次。两次都能算出傅里叶投影，但早期的残差和相位可能暴露出启动瞬态还没消失。

#### 带宽必须说明测量量

**容易误解** 功率带宽就是位移半峰宽。

**正确理解** 显示的带宽属于吸收功率，在这个黏性阻尼模型里是精确值，不能套用到别的响应曲线上。

### 动手实验

1. 01

   #### 观察启动过程

   绕着力驱动器旋转视角，用精细单步比较驱动力和速度。拖动查看最初三个驱动周期，再点“测量当前频率”，它在运行终点测量。

   **你会看到：** 凑满三个完整周期之前没有测量值；越往后，测得的振幅和相位越接近稳态参考。

2. 02

   #### 建立响应曲线

   点“测量十九个频率”，再拖动振幅游标扫过峰值。

   **你会看到：** 每个蓝点都来自一次独立求解的数值实验。

3. 03

   #### 区分振幅与功率

   加大阻尼，找到振幅峰值，再比较固有频率处的吸收功率。

   **你会看到：** 位移峰值向低频移动，功率共振仍在固有频率。

4. 04

   #### 看能量去了哪里

   切换到能量回看，在实验后段比较驱动做功、耗散和储能。切换视图不会丢掉已测的扫频点和游标。

   **你会看到：** 阻尼器持续移走能量，因此做功可以超过当前储能。

物理结论

响应曲线是一组受控实验，振幅、相位、残差和能量收支应该彼此吻合。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)