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title: "受驱摆与 Poincaré 截面互动实验｜Sandbox Physics"
description: "每个驱动周期看一次受驱摆，它会回到同一个状态吗？周期运动会。周期一运动每次都回到同一个状态，周期二运动在两个状态之间轮换。要是每次看到的状态散成一片，起始状态上一点点差别又越拉越大，说明至少在观察的这段时间里，运动对初值很敏感。"
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last_modified: "2026-10-25"
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M086 · 非线性动力学 / 频闪采样

# 受驱摆与 Poincaré 截面

**每个驱动周期看一次受驱摆，它会回到同一个状态吗？** 周期运动会。周期一运动每次都回到同一个状态，周期二运动在两个状态之间轮换。要是每次看到的状态散成一片，起始状态上一点点差别又越拉越大，说明至少在观察的这段时间里，运动对初值很敏感。

调节驱动与阻尼，每个驱动周期在同一相位取样。比较每周期重复、倍周期和不规则的返回点，再扫描驱动强度。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

摆由质点摆球和无质量刚性杆组成，受给定的正弦力矩驱动，支点有黏性阻尼。积分时转角不折回，只在相图和截面里折回到一圈之内。截面不含开头舍弃的驱动周期，舍弃多少由你选。重复判定和重归一化切向增长率只反映这段有限记录，不能证明长期吸引子是什么。步长减半比较只做最初四个驱动周期，因为时间一长，两条混沌轨迹本来就可能毫不相关。

物理教程

## 用截面把连续运动变成返回记录

**背景** 运动看起来复杂，也可能其实在重复。每个驱动周期只在同一相位取一次样，驱动本身的节拍就被去掉了，各次返回可以直接比较。

**为什么值得理解** 马里兰大学 Phys410 非线性力学讲义讲过受驱阻尼摆和倍周期现象。本实验采用同样的无量纲驱动强度，观察多长时间、开头舍弃多少周期都由你来定。

先抓重点

- **核心问题**: 凭什么证据，能分清运动是在重复，还是对初值敏感？
- **一句话直觉**: 看两件事：固定相位的采样点是否重复，微小扰动是否增长。再确认做功和耗散对得上能量变化，步长减半后短时间内结果不变。

### 核心数学模型

#### 受驱摆的运动方程

$$
\ddot\theta+2\zeta\omega_0\dot\theta+\omega_0^2\sin\theta=\Gamma\omega_0^2\cos(\omega_dt+\phi)
$$

驱动强度等于力矩除以转动惯量，再除以固有角频率的平方。

#### 在固定驱动相位取样

$$
t_n=nT_d,\quad T_d=2\pi/\omega_d,\quad (\theta_n\bmod 2\pi,\dot\theta_n)
$$

只显示舍弃周期之后记录到的点。把角度折回一圈之内只影响作图，不影响运动本身。

#### 分别计算做功和耗散

$$
W=\int\tau_d\dot\theta\,\mathrm{d}t,\quad Q=\int2\zeta I\omega_0\dot\theta^2\,\mathrm{d}t,\quad E-E_0=W-Q
$$

驱动功率和阻尼功率随运动一起积分，不是从能量差反推出来的。

#### 微小扰动怎样演化

$$
\delta\ddot\theta+2\zeta\omega_0\delta\dot\theta+\omega_0^2\cos\theta(t)\,\delta\theta=0
$$

扰动只改变转角和角速度，不改变驱动相位。扰动被一次次缩放回原来的大小，所以不会像两条邻近轨迹的距离那样涨到饱和。

#### 有限时间内的增长率

$$
\lambda_T=\frac1T\sum_j\log\frac{\|\delta z_j^-\|}{\|\delta z_j^+\|},\quad z=(\theta,\dot\theta/\omega_0)
$$

计时不包括舍弃的周期。只追踪一个扰动方向、只看有限记录，证明不了长期的指数。

### 常见难点

#### 截面散开是证据，不是证明

**容易误解** 截面上点很多，就说明是混沌。

**正确理解** 暂态很长或运动准周期时，点也会很多。要对比切向增长率，并保留更长的一段周期。

#### 采样相位应固定

**容易误解** 任何等间隔视频帧都构成 Poincaré 截面。

**正确理解** 这里每个驱动周期恰好取一个点，而且总在驱动的同一相位。

#### 扫描结果取决于怎么扫

**容易误解** 扫一遍驱动强度，就能看到所有吸引子。

**正确理解** 每一列都从当前初态重新释放，留给它稳定下来的时间有限。同一强度下，可能还有别的吸引子和各自的吸引域。

### 动手实验

1. 01

   #### 记录重复运动

   选择“每周期重复”，采集完整截面，看截面点数。

   **你会看到：** 许多返回点几乎重合，这段记录的重复判定给出一个驱动周期。

2. 02

   #### 周期加倍

   选择“隔周期重复”，保留足够多的周期。

   **你会看到：** 返回点在两个相近的点簇之间来回交替。

3. 03

   #### 寻找敏感运动

   选择“不规则运动”，再比较更细的步长和更长的记录。

   **你会看到：** 截面点散开，切向增长率可以为正；短时间内的步长减半差别仍然很小。

4. 04

   #### 扫描驱动强度

   展开“记录与诊断”，点“扫描驱动强度”，留意进度，再点“返回截面视图”。

   **你会看到：** 每个强度先舍弃 64 个周期，再保留 24 次返回。改动任何物理参数，旧的扫描就作废。

物理结论

截面点散开、切向增长率为正，说明这段记录里的运动对初值敏感；但它不能确定全局吸引子，也不代表所有初态。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)