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title: "受驱气泡振荡：线性共振与非线性半径互动实验｜Sandbox Physics"
description: "声场里的气泡什么时候不再像一个简单的共振子？水中的气泡像弹簧上的质量块：气体是弹簧，周围的水是质量。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/driven-bubble-oscillation/"
last_modified: "2026-10-30"
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FR33 · 声场中的气泡

# 受驱气泡振荡：线性共振与非线性半径

**声场里的气泡什么时候不再像一个简单的共振子？** 水中的气泡像弹簧上的质量块：气体是弹簧，周围的水是质量。3 微米的空气泡在约 1.3 MHz 共振。轻推时它遵循线性共振理论；推得狠了，它膨胀多于收缩，共振移向低频，并发出谐波，在两倍固有频率附近还会发出驱动频率一半的声音。

在共振附近驱动一个 3 µm 气泡，把半径和线性理论对比，扫一遍频率，看谐波和半频声怎样出现。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

模型是无界水中的单个球形气泡，受均匀正弦声压驱动。半径满足 Rayleigh–Plesset 方程（Brennen 1995，式 2.27），包含多方气体、表面张力、液体黏性，并把声辐射损失折算成附加黏性（Brennen 第 4.4 节）。模型不含热阻尼、气体扩散、辐射项以外的液体可压缩性、形状失稳和相邻气泡，因此共振峰比真实水中更高。这里只有一个气泡，不是空化云。半径、扫频和发出的声音都是模型输出，不是实测数据。

四个驱动周期内的半径

当前驱动声压下的扫频

气泡发出声音的频谱

更多数值与检验方法

- **固有频率（Brennen 式 4.8）**: $0$
- **线性峰值频率（Brennen 式 4.6）**: $0$
- **该驱动下的线性振幅（Brennen 式 4.3）**: $0$
- **液体黏度**: $0$
- **辐射损失折算黏度**: $0$
- **最大泡壁速度与声速之比**: $0$
- **发出声音的二次谐波**: $0$
- **驱动频率以下最强的谱线**: $0$
- **记录前模拟的驱动周期数**: $0$

黄色始终是模拟的 Rayleigh–Plesset 气泡，青色虚线始终是线性理论。驱动为 0.5 kPa 时，整个扫频范围内模拟振幅与线性理论相差约 1% 以内；积分器还能复现 Rayleigh 空泡溃灭时间系数 0.915 和 Brennen 式 2.29 的能量积分。扫频图中的红圈表示泡壁速度超过声速十分之一的驱动。

物理教程

## 气泡是一根不肯保持线性的弹簧

**背景** 水中的小气泡像一个挂在弹簧上的质量块：泡内气体是弹簧，泡壁运动时必须跟着动的水是质量。声波推动水，就在驱动这个振子。

**为什么值得理解** 气泡有由尺寸决定的固有频率，所以对超声的散射特别强。但气体弹簧被压缩时变硬、被拉伸时变软，推得狠了，摆动就不再对称。

先抓重点

- **核心问题**: 声场里的气泡什么时候不再像一个简单的共振子？
- **一句话直觉**: 振幅小时，气泡遵循线性共振理论：固有频率附近一个峰，峰高由阻尼决定。驱动增强后，摆动变得一边大一边小，共振峰移向低频，气泡发出谐波；在两倍固有频率附近，它还会以驱动频率的一半作答。

### 核心数学模型

#### Rayleigh–Plesset 方程

$$
\rho\left(R\ddot R+\tfrac32\dot R^2\right)=p_{G0}\left(\frac{R_0}{R}\right)^{3k}-\left(p_\infty(t)-p_V\right)-\frac{2S}{R}-\frac{4\mu_E\dot R}{R}
$$

这是球形泡壁周围液体的牛顿定律（Brennen 式 2.27）。气体压力服从指数为 $k$ 的多方规律；$S$ 是表面张力，$\mu_E$ 是液体黏性加上辐射项。

#### 固有频率

$$
\omega_N^2=\frac{1}{\rho R_0^2}\left[3k\left(\bar p_\infty-p_V\right)+\frac{2(3k-1)S}{R_0}\right]
$$

Brennen 式 4.8。水中 3 µm 的空气泡 $f_N\approx1.27\,\mathrm{MHz}$；气泡更大时频率大致按 $1/R_0$ 下降。

#### 线性响应

$$
\frac{R-R_0}{R_0}=\mathrm{Re}\left\{\varphi e^{i\omega t}\right\},\qquad \varphi=\frac{\tilde p}{\rho R_0^2\left(\omega^2-\omega_N^2-i\omega\,4\nu_E/R_0^2\right)}
$$

Brennen 式 4.3，驱动为 $p_\infty-\bar p_\infty=\mathrm{Re}\{\tilde p e^{i\omega t}\}$。它只在 $|\varphi|\ll1$ 时成立；Lab 中的虚线就是它。

#### 气泡发出的声音

$$
p_a(r,t)=\frac{\rho}{4\pi r}\,\ddot V\!\left(t-\frac{r}{c}\right)=\frac{\rho}{r}\left(R^2\ddot R+2R\dot R^2\right)
$$

Brennen 式 3.10：远离气泡处，发出的声压跟随体积加速度。半径变化越急，比如急速收缩，声脉冲就越强、越短。

### 常见难点

#### 半径曲线不是空化云

**容易误解** 半径剧烈摆动时，Lab 显示的就是水槽或螺旋桨上看到的空化。

**正确理解** Lab 只跟踪无界水中的一个球形气泡。真实空化涉及许多相互作用的气泡，它们会分裂、失去球形，并与水交换气体和热量。这些都不在模型里。

### 动手实验

1. 01

   #### 先轻轻推

   选择“弱驱动：线性共振”。

   **你会看到：** 黄色半径曲线与虚线线性理论重合，模拟扫频也描出同一个单峰。

2. 02

   #### 用力推

   选择“强驱动：共振峰左倾”，再加大驱动声压。

   **你会看到：** 气泡膨胀远多于收缩，模拟共振峰移到固有频率以下，频谱里出现一串谐波。

3. 03

   #### 在两倍固有频率处驱动

   选择“两倍共振频率：半频声”。

   **你会看到：** 大小摆动交替出现，图样每两个驱动周期才重复一次，频谱在驱动频率一半处出现红线。

物理结论

线性理论给出固有频率和小信号响应。驱动更强时，气体弹簧的对称性被打破，共振移动，发出的声音里出现谐波和次谐波。

## 相关实验与文章

声学与超声 · 阅读路径

### 从一列声压波到被捕获的微珠、回波和受驱气泡

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **受声波驱动的气泡怎样从线性共振走向非线性振荡**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/acoustics-ultrasound/bubble-dynamics/)

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)