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title: "排水箱与 Torricelli 定律互动实验｜Sandbox Physics"
description: "从水箱液面下降的快慢，能看出出流比理想值少多少吗？能，靠流量系数。"
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last_modified: "2026-10-27"
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M094 · 流体力学

# 排水箱与 Torricelli 定律

**从水箱液面下降的快慢，能看出出流比理想值少多少吗？** 能，靠流量系数。液面下降的快慢乘以水箱截面积，就是出流量。理想情况下，出流速度等于从液面自由落到孔口的速度，再乘孔口面积，就是 Torricelli 流量。实测流量除以它，就是流量系数。这一个数把两种损失合在一起：射流出孔后会收缩变细，流速也比理想值慢。

让圆柱水箱或扩张水箱排水，抬高出流口，拖动时间看完整个过程。液面怎样下降，流走多少体积，射流怎样变细、像抛体一样落下，这几件事互相对应。最后从原始液面读数算出排流系数。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型把出流口当作准稳态小孔，收缩系数和速度系数取常数。不考虑管道摩擦、表面张力和射流破碎。水头很低或孔很大的工况属于外推，只显示，不能采集。

物理教程

## 液面记录包含输运损失

**背景** 水箱里是均匀液体，重力恒定。所有压力都是表压，也就是相对周围大气的压力。

**为什么值得理解** 受力平衡和液体体积守恒决定了水箱怎样排空。问题是，从模拟传感器读数里能反推出多少。

先抓重点

- **核心问题**: 单看液面下降，能看出出流口的损失吗？
- **一句话直觉**: 液面下降只能告诉你射流收缩和速度损失的乘积，分不出各占多少。

### 核心数学模型

#### 流量由射流面积和速度决定

$$
Q=C_c A_o C_v\sqrt{2gh},\qquad C_d=C_cC_v
$$

排流系数相同的两个出口，射流面积和速度仍可以不同。

#### 体积守恒

$$
A(z)\frac{dz}{dt}=-Q,\quad A(z)=\pi R_0^2\!\left(1+\frac{fz}{H}\right)^2
$$

两种水箱遵守同一条规律：流量等于液面截面积乘以液面下降的速度。

#### 按实际水箱形状积分水头

$$
J(h)=\int_0^h\frac{A(z_o+u)}{\sqrt{u}}\,du
$$

水头为零时，这个积分仍是有限值。系数不变时，它随时间线性变化。

#### 拟合采集到的液面

$$
-J(z_i-z_o)=\alpha t_i+\beta,\quad\widehat C_d=\frac{\widehat\alpha}{A_o\sqrt{2g}}
$$

拟合只给出两个系数的乘积。单凭液面，分不开收缩和速度损失。

#### 像抛体一样落下的射流

$$
x=v_j\tau,\quad y=y_o-\frac{g\tau^2}{2},\quad A_j(\tau)=\frac{Q}{\sqrt{v_j^2+(g\tau)^2}}
$$

图中射流是当下时刻的准稳态流线。液体在空中飞行的时间远短于排水时间，可以忽略。

### 常见难点

#### 先采集，再推断

**容易误解** 估计值只是照抄参考滑块的设定。

**正确理解** 清空观测，估计值随即消失。再添加噪声或改变参考量，重新采集。

#### 认清近似的范围

**容易误解** 装置画面流畅，显示的每个工况就都可靠。

**正确理解** 看一下适用域状态。外推工况仍会显示，但不能采集。

### 动手实验

1. 01

   #### 拖动时间看排水

   把金色时间手柄从满箱拖向名义终点。

   **你会看到：** 液面下降，流量变小，射流落点向水箱靠拢。

2. 02

   #### 换一种水箱形状

   比较初始液位相同的圆柱水箱和扩张水箱。

   **你会看到：** 初始水头相同，但储水量和排水时间不同。

3. 03

   #### 推断损失

   采集排水过程，添加噪声，再导出原始液面数据。

   **你会看到：** 换算成水头积分后，采集到的液面随时间排成一条直线，斜率给出排流系数。

4. 04

   #### 看快排空时

   提高出流口，把时间手柄拖到低水头。

   **你会看到：** 出流口以下的液体留在箱里；快排空时不再采集。

物理结论

采集到的液面和模型参考曲线回答的是不同问题。两者都只能在近似成立的范围里用。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)