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title: "Jarzynski 等式：拖动光阱里的微珠互动实验｜Sandbox Physics"
description: "反复做不可逆的拉动，能否得到可逆过程的自由能差？拖一次光阱里的微珠，做的功可能比自由能差多，也可能比它少，因为周围的水分子在随机地推它。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/dragged-trap-work/"
last_modified: "2026-10-29"
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FR25 · 单条轨迹上的功

# Jarzynski 等式：拖动光阱里的微珠

**反复做不可逆的拉动，能否得到可逆过程的自由能差？** 拖一次光阱里的微珠，做的功可能比自由能差多，也可能比它少，因为周围的水分子在随机地推它。平均下来，做功总是更多。把许多次拉动的功取负指数再平均，或者找正反两组功分布的交点，都能还原自由能差，前提是少见的低功拉动也被采到。

把光阱里的微珠反复拖上坡。每次做功都不一样，功的分布却能给出自由能差。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

模型是一颗半径 0.5 µm 的过阻尼微珠，在 300 K 的水中沿一维运动，受谐振光阱和恒定负载力作用。每个时间步先在微珠不动时移动光阱，记为功；再让微珠在固定光阱中精确弛豫，记为放给水的热。不含惯性、近壁阻力修正、光阱非线性、探测噪声和激光加热。所有拉动均为模型模拟，未展示实测数据。

正向功与翻转后的反向功

估计值随拉动次数变化

一次典型拉动的功、热与势能

更多数值与计算方法

- **此协议的精确平均功**: $0$
- **精确耗散功**: $0$
- **连续时间极限的平均功**: $0$
- **由反向拉动得到的估计**: $0$
- **Bennett 接受比估计**: $0$
- **Jarzynski 估计的自助法误差**: $0$
- **此拉动次数下的预期平均偏差**: $0$
- **最大单个权重的占比**: $0$
- **有效拉动次数**: $0$
- **功减热减势能变化的最大残差**: $0$
- **弛豫时间**: $0$
- **每次拉动的时间步数**: $0$

精确值来自离散协议的均值递推与协方差求和，两者之比检验涨落—耗散关系。预期区间在每个拉动次数上用 600 组带种子的高斯重复样本得到。拉动按模拟顺序累计，曲线的跳变来自单次少见拉动。

物理教程

## 功会涨落，自由能差不会

**背景** 光阱里的微珠不停受到水分子的随机撞击。移动光阱时，光阱对微珠做功；微珠再把能量以热的形式交还给水。

**为什么值得理解** 每次拉动的轨迹都不同，做功也不同；起点与终点光阱之间的自由能差却只是一个数。问题在于，怎样从许多带噪声、不可逆的拉动里读出这个数。

先抓重点

- **核心问题**: 反复做不可逆的拉动，能否得到可逆过程的自由能差？
- **一句话直觉**: 平均功总会高过自由能差，但指数平均和正反功分布的交点都落在它上面。指数平均依赖少见的低功拉动，拉动次数太少时，它会系统性偏高。

### 核心数学模型

#### 一次拉动的功去了哪里

$$
W=Q+\Delta V,\qquad V(x,\lambda)=\tfrac{k}{2}(x-\lambda)^2+fx
$$

光阱做的功，一部分抬高微珠的势能，其余作为热流进水里。每一次拉动，功都正好等于热加上势能变化。

#### Jarzynski 等式

$$
\left\langle e^{-W/k_{\mathrm B}T}\right\rangle=e^{-\Delta F/k_{\mathrm B}T},\qquad \Delta F=fL
$$

平均对象是从平衡态出发的许多次拉动。这里自由能差等于负载力乘拖动距离，因此估计值可以与精确值逐一对照。

#### Crooks 涨落定理

$$
\frac{P_{\mathrm F}(W)}{P_{\mathrm R}(-W)}=e^{(W-\Delta F)/k_{\mathrm B}T}
$$

正向拉动与沿同一路径倒着拉，两组功分布恰好在自由能差处相交。

#### 匀速拖动的平均耗散功

$$
\langle W\rangle-\Delta F=\gamma v^2\left[\tau-\tau_r\left(1-e^{-\tau/\tau_r}\right)\right]=\frac{\operatorname{Var}W}{2k_{\mathrm B}T}
$$

式中 $\gamma$ 为微珠阻力系数，$v$ 为光阱速度，$\tau$ 为拉动时间，$\tau_r=\gamma/k$ 为弛豫时间。此时功服从高斯分布，其方差由多做的功确定。

### 常见难点

#### 低于自由能差的拉动

**容易误解** 做功少于自由能差的拉动违反了第二定律。

**正确理解** 第二定律约束的是许多次拉动的平均值。小系统偶尔能从水里借到热，这类拉动很少见，却正是指数平均所需要的。

### 动手实验

1. 01

   #### 盯住绿色微珠

   播放“上坡拖动”，看上面一条。

   **你会看到：** 少数微珠变绿：到目前为止，它们做的功比势阱抬升的高度还少。直方图左侧的尾巴就是它们。

2. 02

   #### 拉得更快

   选择“少数拉动定胜负”。

   **你会看到：** 平均功远高于自由能差；正向指数平均仍然偏高，交点却依旧找得到它。

3. 03

   #### 亲手拖动光阱

   拖动正向光阱的把手到任意位置，再松手。

   **你会看到：** 无论你画出怎样的路径，估计值都接近负载力乘净位移；每一次拉动的功仍然正好等于热加势能变化。

物理结论

涨落的功里藏着自由能的精确信息，但要读出它，离不开那些被平均值掩盖的少见拉动。

## 相关实验与文章

随机热力学 · 阅读路径

### 从光阱里的珠子到用不可逆拉动求自由能

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **室温下，光阱里的珠子会晃多远**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stochastic-thermodynamics/bead-in-a-trap/)
2. [实验 **光镊：用布朗运动标定刚度** 反过来，用晃动测刚度](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-tweezers-calibration/)
3. [文章 **一次拉动里的功和热**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stochastic-thermodynamics/work-and-heat-along-one-path/)
4. [文章 **匀速拖动光阱时，功的平均值和涨落**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stochastic-thermodynamics/dragging-the-trap/)
5. [文章 **Jarzynski 等式和 Crooks 关系怎样从不可逆拉动求出自由能**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stochastic-thermodynamics/jarzynski-and-crooks/)
6. [文章 **逐图读懂 Gore、Ritort 与 Bustamante 2003 年论文里的有限样本偏差**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/stochastic-thermodynamics/reading-the-jarzynski-bias-paper/)

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)