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title: "DPC：束偏转与投影场互动实验｜Sandbox Physics"
description: "衍射盘的偏移，什么时候能用来测样品里的场？要同时满足三条：零点用真空参考标定过，探测器收全了相关角度，盘内强度也没被样品里的散射打乱。即便如此，偏移也只反映电子束穿过样品时累计受到的横向推力。电场和磁场都能造成同样的推力，一次扫描分不出是哪一种。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/dpc-field/"
last_modified: "2026-10-25"
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E38 · 电子成像

# DPC：束偏转与投影场

**衍射盘的偏移，什么时候能用来测样品里的场？** 要同时满足三条：零点用真空参考标定过，探测器收全了相关角度，盘内强度也没被样品里的散射打乱。即便如此，偏移也只反映电子束穿过样品时累计受到的横向推力。电场和磁场都能造成同样的推力，一次扫描分不出是哪一种。

让会聚电子探针穿过一个平滑的结区，把它的衍射盘和单独记录的真空盘对照。从测得的质心偏移算出电场等效投影，和四分区差分的结果比较，再看裁切、计数噪声和晶体散射怎样冒充一个场。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

束能固定 200 kV，视野 48 nm，扫描 24 行 24 列探针位置；探测器 48 行 48 列，覆盖正负 8 mrad。样品结区的局部场取虚构的高斯横向分布，沿竖直方向和深度均匀。局部幅度以每纳米伏特计，乘以所选厚度才得到投影电压；不模拟材料击穿。衍射盘整体平移，平移量由相对论洛伦兹冲量给出，探针模糊用高斯卷积近似。电场预设和磁场预设特意给出同样的偏转，一次扫描分不开两者。显示的投影都是电场等效量：它不能唯一确定电场，也不是局部三维场。打开磁场开关时，程序设置相应的横向投影磁感应，电场为零。开启晶体耦合后，透射波和一束衍射波按无损双束动力学传播，强度随厚度来回交换。单位耦合的参考消衰距离为 80 纳米，两盘相隔 6 mrad，会聚范围保证圆盘不重叠。整体倾角和设定的平滑弯曲使激发误差随入射角及扫描位置变化。圆形光源的网格面积权重精确积分，激发误差取网格中点，直径用 64 格离散；探测器外的强度保留为丢失，不重新归一化。场的冲量随后整体平移两支圆盘；这是把两种作用分步处理的近似，不是原子尺度场与波的联合传播。质心估计和分区估计都用实际采集的像素计数和一次单独的真空曝光。整次扫描共用这个参考，所以参考噪声在各点之间相关。分区方法用的是无遮挡圆盘的小偏移标定，角掩膜可能让这个标定失效。缺计数的点保持无效，有符号估计保留负噪声，模型均方根误差以已知的探针展宽参考为准。剂量指每次扫描落在样品上的曝光，真空曝光另算。模型不含损伤、像差、吸收、非弹性或多束散射，也没有场反演求解器。图中深度每纳米对应 0.05 个场景单位，扫描面内仍为每纳米 0.5 个场景单位；深度缩放只是示意。场箭头显示已知源，不代表恢复出的局部场。

物理教程

## 先测动量，再解释场

**背景** 电子穿过一个横向受力平滑变化的区域，会获得横向动量，衍射盘随之平移。只要盘整体平移、形状不变，像素探测器就能从记录强度的质心测出这个平移。

**为什么值得理解** 表观场还取决于探测器零点在哪里、探测器漏掉了哪些角度、计数噪声有多大，以及晶体把多少强度散射到了别处。

先抓重点

- **核心问题**: 衍射盘的偏移，什么时候能用来测样品里的场？
- **一句话直觉**: 完整质心和四分区差分是两种不同的估计方法；只有考虑了磁场贡献和散射，电场等效投影才能当作电场来读。

### 核心数学模型

#### 局部场沿深度累积成投影

$$
\mathcal E_0=E_0t,\qquad \Delta\theta_x=-\frac{eE_0t}{pv}
$$

局部场沿所选厚度均匀。关闭晶体耦合时，厚度加倍，期望冲量也加倍；这还不能确定未知的深度分布。

#### 无损双束的强度交换

$$
\begin{aligned}P_g(t)&=\frac{\kappa^2}{\kappa^2+s_g^2}\sin^2\!\left(\pi t\sqrt{\kappa^2+s_g^2}\right)\\P_0(t)&=1-P_g(t),\qquad \kappa=\frac{c}{80\,\mathrm{nm}}\end{aligned}
$$

耦合强度和激发误差决定可逆的弹性强度交换。即使没有电磁场，圆盘质心也可能偏移。

#### 相对论洛伦兹冲量

$$
p\,\Delta\boldsymbol\theta=-e\int\left(\frac{\boldsymbol E_\perp}{v}+\hat{\boldsymbol z}\times\boldsymbol B_\perp\right)\mathrm dz
$$

电子沿样品深度的正方向入射。沿 x 的正投影电场让电子偏向 x 负方向；沿 y 的负投影磁感应造成同样的偏移。束能固定为 200 kV。

#### 记录像素的强度质心

$$
\begin{gathered}\overline{\theta}_x=\frac{\sum_{m,n}M_{mn}D_{mn}\theta_{x,m}}{\sum_{m,n}M_{mn}D_{mn}}\\ \Delta\theta_x=\overline{\theta}_{x,\mathrm{spec}}-\overline{\theta}_{x,\mathrm{vac}}\end{gathered}
$$

单独的真空帧用同一个角掩膜。所有扫描点共用这一个参考，它的计数误差会出现在每个点上。裁切对样品盘和真空盘质心的影响可能不一样。

#### 电场等效投影

$$
\begin{aligned}\mathcal E_{x,\mathrm{eq}}&=-\frac{pv}{e}\Delta\theta_x\\&=\int E_x\,\mathrm dz-v\int B_y\,\mathrm dz\end{aligned}
$$

它的单位是伏特，因为它是沿深度积分过的场，不是以每米伏特计的局部场。磁场预设里电场为零，却给出完全相同的计数。

#### 小偏移下的四分区估计

$$
\begin{aligned}D_x&=\frac{N_R-N_L}{N_R+N_L}\\\Delta\theta_x&\simeq\frac{\pi\alpha}{4}\Delta D_x\\\Delta D_x&=D_{x,\mathrm{spec}}-D_{x,\mathrm{vac}}\end{aligned}
$$

这个斜率只适用于完整、均匀、偏移很小的圆盘。偏移一大，关系就变成非线性；环形掩膜或圆盘缺掉一块，也会改变标定。

#### 入射电子数与样品剂量

$$
N_e=\frac{I\tau}{e},\qquad d=\frac{N_e}{(2\,\mathrm{nm})^2}
$$

每次扫描曝光 24 行 24 列，间隔 2 nm。单独的真空曝光多花时间、多出数据，但不算样品剂量。已知模型误差以探针展宽后的投影场为参考。

### 常见难点

#### 投影不是局部场

**容易误解** 场图给出了每个原子唯一的电场。

**正确理解** 这张图是电场等效量沿深度的积分，又经过探针平均。磁力和散射都可能贡献信号，本实验也没有做原子尺度的多层切片计算。

#### 掩膜居中，也救不了偏移的圆盘

**容易误解** 探测器掩膜是对称的，质心就不会有偏差。

**正确理解** 样品盘和真空盘如果被截掉的部分不同，掩膜再对称也补不回缺失的强度。

### 动手实验

1. 01

   #### 分开厚度与晶格冲量

   先关闭晶体耦合，拖动样品把厚度从 100 改到 50 纳米，比较恢复投影。再选“无场 · 晶格冲量”，改变厚度和偏离布拉格条件的倾角。

   **你会看到：** 场的贡献随路程增加；弹性双束交换却可能随厚度起伏，即使真实场为零，也会造成表观场。

2. 02

   #### 预测偏转符号

   比较未校正状态与“已标定质心”。

   **你会看到：** 扣掉测得的真空计数，探测器的零点偏移就去掉了，但参考本身的噪声还在。

3. 03

   #### 切掉一部分圆盘

   缩小掩膜外半径，或者挡掉中心区域。

   **你会看到：** 圆盘被裁掉一块，它的质心就不再代表整束电子的平均动量；缺失计数还可能让两种估计都失效。

4. 04

   #### 分清测量和解释

   比较分区和散射伪影预设，再比较磁场预设。

   **你会看到：** 分区结果偏离小偏移标定，弹性动力学衍射造出假的场衬度。电场和磁场来源可以给出一模一样的偏移数据。

5. 05

   #### 达到标定电场目标

   打开真空校正，满足给定的接收、计数、均方根误差和剂量要求，然后核对。

   **你会看到：** 曝光更多，计数噪声更小，但裁切和散射造成的系统偏差还在。

物理结论

用测得的真空计数定零点，保留需要的角度，并说明你假定的受力来源。单靠一张场图，分不开电场和磁场的贡献。

场、流体与物质 · 入门路径

## 从电场到电子显微镜

先看懂电场、学会操控带电粒子，再算出电子的波长，用电子束观察晶体和表面。

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