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title: "双势阱、势垒与分界轨道互动实验｜Sandbox Physics"
description: "两个势阱中间隔着势垒，粒子的运动会怎样变？看能量能不能越过势垒顶。低于垒顶，粒子在一个阱里来回振荡；高于垒顶，就在两个阱之间来回跑。能量接近垒顶时，粒子在顶上附近停留很久，周期急剧变长。有阻尼的话，耗掉一点能量，就能把本来跨阱的粒子困进一个阱里。"
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last_modified: "2026-10-22"
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M045 · 势垒与临界减速

# 双势阱、势垒与分界轨道

**两个势阱中间隔着势垒，粒子的运动会怎样变？** 看能量能不能越过势垒顶。低于垒顶，粒子在一个阱里来回振荡；高于垒顶，就在两个阱之间来回跑。能量接近垒顶时，粒子在顶上附近停留很久，周期急剧变长。有阻尼的话，耗掉一点能量，就能把本来跨阱的粒子困进一个阱里。

调节势垒、两阱间距、倾斜和阻尼。比较困在一个阱里的振动和在两阱之间往返的运动，从上下两侧逼近分界轨道，再让阻尼把一个高能粒子捕获在一侧。测出穿越和周期，再和由能量积分独立算出的周期对照。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型是一个理想质点，沿水平导轨在给定的多项式势能中运动，所有量都用 SI 单位。三维受力探针和标出可到达区域的色带只是辅助显示，实验不模拟滚动、实体势垒或任何驱动机构。竖直方向的曲线是能量图，不是真实轨道。灰色轮廓按释放时的能量绘制，青色是已记录的运动。回放从保存的检查点重新积分。步长减半比较最多只做前十秒，能量检查覆盖每一个积分步。

物理教程

## 分界轨道分开单阱与跨阱运动

**背景** 四次双势阱有两个稳定的极小值，中间隔着一个鞍点，也就是势垒顶。没有阻尼时，能量低于鞍点的粒子只能待在一侧；能量高于鞍点，它就能到达两个阱。能量恰好等于鞍点时，运动的粒子会无限逼近鞍点，永远走不完一个周期，这条轨道就是分界轨道。

**为什么值得理解** 能量图和相空间图用的是单坐标经典力学的标准方法。势垒高度和允许的最大倾斜，都直接从图中的四次势能推出。加上黏性阻尼后，模型会记下阻尼移走的每一份动能。

先抓重点

- **核心问题**: 只比势垒高一点，为什么穿越会慢那么多？
- **一句话直觉**: 能量越接近势垒顶，粒子在鞍点附近逗留得越久。阻尼移走足够的能量后，原本跨阱的轨道会被困在一侧。

### 核心数学模型

#### 倾斜双势阱

$$
U(x)=B\left[\left(\frac{x}{a}\right)^2-1\right]^2+fx
$$

不倾斜时，势垒尺度就是势垒比任一极小值高出的能量。倾斜后，释放一侧的实际势垒按极小值和鞍点的真实位置重新计算。

#### 两个极小值都保留的条件

$$
|f|<f_{\mathrm{crit}}=\frac{8B}{3\sqrt3\,a},\qquad U\prime(x_*)=0
$$

倾斜始终小于鞍结分岔的阈值，所以两个极小值和中间的鞍点一直分得开。

#### 有黏性阻尼时的能量平衡

$$
m\ddot x=-U\prime(x)-c\dot x,\qquad H(t)+Q(t)=H(0),\qquad Q(t)=\int_0^t c\dot x^2\,dt
$$

每个阻尼子步让速度按指数衰减，并把损失的动能精确计入热量。保守力部分的积分误差仍会表现为能量对不上的差额。

#### 超出势垒的能量与无阻尼周期

$$
\Delta H=H-U(x_s),\qquad T(H)=\sqrt{2m}\int_{x_-}^{x_+}\frac{dx}{\sqrt{H-U(x)}}
$$

临界轨道没有有限的周期，所以图上留了一个缺口，不把势垒上下两支连起来。

#### 鞍点附近的运动

$$
U(x)\simeq U(x_s)-\frac{m\lambda_s^2}{2}(x-x_s)^2,\qquad \lambda_s^2=-\frac{U\prime\prime(x_s)}{m}
$$

在鞍点附近，周期按对数增长，微小的能量误差会被放大。粒子如果恰好在鞍点释放，又没有扰动，就会一直静止。

### 常见难点

#### 临界能量下的穿越来自数值误差

**容易误解** 临界能量下记录到的每次穿越都真实发生了。

**正确理解** 精确的分界轨道在任何有限时间内都不会越过鞍点。有限步长带来的误差可能让它越过去，也可能让它折返，所以要对照能量误差和步长减半后的差别。

#### 倾斜后，势垒尺度不等于实际势垒

**容易误解** 对称势垒参数总等于释放侧实际势垒。

**正确理解** 倾斜会改变两个极小值和鞍点的能量，读数用的是它们之间的实际差值。

#### 阻尼改变轨道

**容易误解** 损失能量以后，测到的周期仍然等于无阻尼参考周期。

**正确理解** 能量一边减少，轨道一边改变。只有记录到的能量比鞍点低出数值不确定度以上，实验才认定粒子已被捕获。

### 动手实验

1. 01

   #### 比较单阱运动与跨阱运动

   对“势垒以下”和“双阱穿越”分别采集完整记录，再看相图和记录到的鞍点穿越。

   **你会看到：** 没有阻尼时，只有能量高于势垒的运动能到达两个阱。

2. 02

   #### 逼近分界轨道

   比较“从下方接近临界”和“从上方接近临界”，再选择“临界能量”。

   **你会看到：** 两边的周期都变长。到了临界能量，参考周期不再是有限值，结果对数值误差也敏感得多。

3. 03

   #### 让阻尼捕获粒子

   选择“耗散捕获”并采集完整记录，看热量与机械能之和。

   **你会看到：** 热量加机械能一直等于初始能量，轨道最后被困在一侧。

4. 04

   #### 倾斜但保留两个阱

   改变倾斜，在相空间里拖动初始状态，把实际鞍点能量和对称势垒尺度比一比。

   **你会看到：** 鞍点移动了，从两侧看势垒高度不同，但两个极小值都还在。

物理结论

在势垒附近，周期趋于无穷，结果对数值误差也越来越敏感，两者要放在一起看。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)