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title: "DMRG 基态扫描互动实验｜Sandbox Physics"
description: "DMRG 怎样找到基态？又怎么确认找到了？DMRG 让一个小窗口沿链来回扫描，每次把两个格点换成其余部分固定时能量最低的选择，能量一轮轮下降。"
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last_modified: "2026-10-30"
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FR30-C · 扫过窗口，能量下降

# DMRG 基态扫描

**DMRG 怎样找到基态？又怎么确认找到了？** DMRG 让一个小窗口沿链来回扫描，每次把两个格点换成其余部分固定时能量最低的选择，能量一轮轮下降。是否收敛，要同时看能量方差、舍弃权重，有精确能量时再对照它；方差很小的态也可能是对称破缺态。

看双格点窗口沿自旋链来回扫描，每一步都把能量压低一点。拿能量和精确值比较，也看看为什么只凭很小的能量方差，还不能证明已经找到基态。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

双格点 DMRG 在矩阵乘积算符下优化实数矩阵乘积态，每次局域更新做几步 Lanczos，前几轮扫描逐步提高键维数上限。Ising 链的能量与自由费米子精确基态能比较；8 到 16 个格点的 Heisenberg 链与预先存储的 SciPy 精确对角化结果比较。方差用哈密顿量平方的矩阵乘积算符计算。虚线熵曲线是共形场论的弦长公式，中心荷固定，只拟合常数。

每轮扫描的能量误差与方差

每次局域更新后的能量

沿链的纠缠熵

数值诊断与记录

$\text{sweep }0$

能量、方差与宇称都由每轮扫描结束时的矩阵乘积态计算。记录保存每一次局域更新和每一轮扫描。

[继续学习：量子多体物理中的张量网络](https://sandboxphysics.com/zh/stories/tensor-networks/)

物理教程

## DMRG 基态扫描

**背景** 一维有能隙链的基态满足面积律：链再长，切口两侧的纠缠也有上限。所以键维数不大的矩阵乘积态就能很好地表示它们。

**为什么值得理解** DMRG 在矩阵乘积态中寻找能量最低的那个。它不一次优化所有张量，而是每次改进相邻两个格点，再来回扫描。

先抓重点

- **核心问题**: DMRG 怎样找到基态？又怎么确认找到了？
- **一句话直觉**: 每次局域更新只会让变分能量下降或不变。结果是不是基态，需要另外的证据：能量方差、舍弃权重、对称性检查，能做到时再和精确能量比较。

### 核心数学模型

#### 局域本征值问题

$$
H_{\rm eff}^{[j,j+1]}\,\Theta=E\,\Theta,\qquad \Theta\approx U\,\mathrm{diag}(s)\,V^{\dagger}
$$

链的其余部分固定后，双格点块的能量就是一个小本征值问题。几步 Lanczos 就能解出，再用截断奇异值分解把它拆回两个张量。

#### 用方差检验收敛

$$
\sigma_E^2=\langle H^2\rangle-\langle H\rangle^2\ge0
$$

精确本征态的方差为零。方差小说明这个态接近某个本征态，或接近几个近简并本征态的组合，但它说不出是哪一个。

#### 临界链的纠缠

$$
S(\ell)=\frac{c}{6}\ln\!\Big[\frac{L}{\pi}\sin\frac{\pi\ell}{L}\Big]+s_0
$$

对开放边界的临界链，共形场论给出这条曲线：Ising 链中心荷为二分之一，Heisenberg 链为一。这里只拟合常数；短链上还会叠加振荡。

### 常见难点

#### 方差小不是证明

**容易误解** 方差一旦很小，DMRG 就找到了基态。

**正确理解** 近简并的态，比如铁磁体的两个有序态，混合后方差依然很小。要检查对称性、换几个初态比较，能有精确能量时就拿来对照。

### 动手实验

1. 01

   #### 跟着一轮扫描

   让“临界 Ising 链”运行，跟着金色双格点窗口，看它身后留下的纠缠柱。

   **你会看到：** 前几轮扫描中，能量误差下降好几个数量级；纠缠柱逐渐排成中间最高的拱形。

2. 02

   #### 缩小键维数

   选“键维数太小”，或把金色上限往下拖。

   **你会看到：** 能量停在明显高于精确值的地方，方差和舍弃权重也都很大，三个信号一致。

3. 03

   #### 收敛了，答案却不对

   选“有序相：方差小，态不对”，比较能量方差和能量误差。

   **你会看到：** 方差非常小，能量却仍高于精确基态能。DMRG 停在了对称破缺态上，诊断中的宇称检查能揭示这一点。

物理结论

只有几项相互独立的收敛检查都一致时，才信任 DMRG 的能量。

## 相关实验与文章

张量网络 · 阅读路径

### 张量网络与 DMRG：从纠缠到量子淬火

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **自旋链为什么会撑爆计算机，它的基态却不会**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/tensor-networks/many-spins-many-amplitudes/)
2. [实验 **矩阵乘积态压缩** 剪断自旋链的键，看误差怎样变化](https://sandboxphysics.com/zh/labs/entanglement-compression/)
3. [文章 **一次矩阵分解，量出纠缠**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/tensor-networks/schmidt-decomposition/)
4. [文章 **来回扫描求基态，再判断该不该信**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/tensor-networks/dmrg-variational-sweeps/)

量子与场 · 入门路径

## 从一次测量开始

先预测结果，再数一数实际测到了什么。从一个量子比特出发，一路走到波包、束缚态和双光子干涉。

[从这里开始 → **量子态与 Born 测量** 先预测一个概率，转动分析器，再拿预测和多次测量得到的频率比一比。 观察 · 15 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
3. [3 波包传播与不确定性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
4. [4 量子谐振子态工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)
5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/quantum/#starter-path)