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title: "堵塞转变：挤压软圆盘互动实验｜Sandbox Physics"
description: "一盒松散的圆盘，挤到多密时会突然顶住？盒子里的松散软圆盘起初对壁毫无推力，直到某个堆积分数，它们突然锁成一张能平衡所有力的网。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/disk-jamming-compression/"
last_modified: "2026-10-30"
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FR27 · 压缩与卸载

# 堵塞转变：挤压软圆盘

**一盒松散的圆盘，挤到多密时会突然顶住？** 盒子里的松散软圆盘起初对壁毫无推力，直到某个堆积分数，它们突然锁成一张能平衡所有力的网。这发生在接触数刚好多过受力平衡方程数的时候。再往里挤，对弹簧型接触，压强与多挤的量成正比。128 个大小两种的圆盘在有壁的盒子里，这个起点约在堆积分数 0.79 到 0.81 之间。

在盒子里挤压 128 个软圆盘，看它们堵塞的一刻力链如何出现；压强、每盘接触数和壁面受力都来自同一个堆积。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

模型是无摩擦的二维圆盘，一半直径为 1，一半为 1.4，只在重叠时按谐振或 Hertz 定律互相排斥。每次稍微改变盒子大小后，都让堆积弛豫到受力平衡，因此不含惯性、重力、摩擦和转动。承载接触少于三个的盘称为松动盘（rattler），不参与承载。有壁的盒子和较少的盘数会改变起点，所得数值不适用于真实的沙子。

循环中的壁面压强

每个承载盘的接触数

当前堆积中的接触力

更多数值与计算方法

- **接触应力与壁面压强之比**: $0$
- **每盘储存的能量**: $0$
- **松动盘**: $0$
- **承载盘**: $0$
- **平均局部六重序**: $0$
- **本次循环的堵塞起点**: $0$
- **整个循环中壁做的净功**: $0$
- **整个循环中弛豫损失的能量**: $0$
- **本步的弛豫迭代次数**: $0$
- **圆盘数**: $0$
- **种子**: $0$

虚线是同一批承载盘在恰好有 $2N'+1$ 个接触（保留与壁的接触）时的接触数。壁的净功用每个仿射步上压强的梯形积分求得；在闭合循环上，它应与弛豫损失相差不过几个百分点。

物理教程

## 一堆学会顶回来的圆盘

**背景** 盒子里的松散圆盘可以彼此滑开，壁上感觉不到力。再把盒子挤小一点，到某个堆积分数时，圆盘忽然锁成一张网，开始推所有的壁。

**为什么值得理解** 沙子、玻璃珠和泡沫都会从能流动变成能承载。无摩擦圆盘是最干净的版本：只有一条接触定律，没有重力和摩擦。它能显示载荷怎样由稀疏的力链承担，以及这张网为何稀疏到受力平衡所允许的极限。

先抓重点

- **核心问题**: 一盒松散的圆盘，挤到多密时会突然顶住？
- **一句话直觉**: 当接触数刚好够平衡每个力时，堵塞发生。此刻压强从零起步，对谐振接触按线性增长；超出等静定数的接触也从零开始增加。卸载会把它解开，但堵住的具体状态取决于走过的路径。

### 核心数学模型

#### 接触定律

$$
V(r)=\frac{\varepsilon}{\alpha}\left(1-\frac{r}{\sigma_{ij}}\right)^{\alpha},\qquad r<\sigma_{ij}=R_i+R_j
$$

圆盘只在重叠时互相排斥。$\alpha=2$ 是谐振弹簧，$\alpha=5/2$ 是 O’Hern 等人（2003）使用的 Hertz 定律。

#### 数接触

$$
N_{\mathrm{iso}}=2N'+1\ \ (\text{walled box}),\qquad N_{\mathrm{iso}}=2N'-1\ \ (\text{periodic cell})
$$

每个承载盘（共 $N'$ 个）有两个受力平衡方程。要承受正压强，接触数还得比需要确定的未知量多一个（Goodrich、Liu 与 Nagel，2012）。

#### 由接触求应力

$$
\sigma_{ab}=\frac{1}{A}\sum_{\text{contacts}} b_a f_b,\qquad p=\tfrac12\left(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}\right)
$$

分支矢量 b 连接两个圆心，或从壁连到圆心。受力平衡时，这个内部估计等于每面壁上单位长度的力，实验室每一步都核对这一点。

#### 堵塞之上的标度

$$
p\propto(\phi-\phi_c)^{\alpha-1},\qquad Z-Z_c\propto(\phi-\phi_c)^{1/2}
$$

O’Hern 等人（2003）在大的周期性堆积中给出这些指数。128 个盘时，压强定律能复现；接触数指数偏陡，这是有限尺寸效应。

### 常见难点

#### 堵塞就是挤得很紧

**容易误解** 堵住的堆积里已经没有空隙。

**正确理解** 刚堵住时，盒子里仍有约五分之一的面积是空的，还有几个盘在笼子里晃。变化在于出现了一张连通的网，能平衡所有的力。

#### 力会平均分摊

**容易误解** 每个盘承担的载荷差不多。

**正确理解** 力分得很不均匀。默认循环挤到最紧时，约四分之一的接触承受的力不到平均值的一半，最强的接触约为平均值的三倍。舞台下方的力直方图显示了这种分布。

### 动手实验

1. 01

   #### 看起点

   播放“穿过堵塞点”，看盒子的角向内移动。

   **你会看到：** 直到第一批力链横跨盒子之前，壁上都没有力。之后压强曲线离开零点并持续上升。

2. 02

   #### 数多余的接触

   选“刚刚堵住”，再与“深度挤压”比较超出等静定的接触数。

   **你会看到：** “刚刚堵住”挤到最紧时，只多出约十个接触，还有四个松动盘；“深度挤压”挤到最紧时多出约六十个，一个松动盘也没有。

3. 03

   #### 亲手挤

   把活动壁角上的把手向里拖，再拖回来。

   **你会看到：** 你的路径以绿色画在压强图上。往回拖时，载荷消失的堆积分数通常比压进去时载荷出现的堆积分数高。

物理结论

无序的堆积一旦接触足以平衡所有的力，就能承载，而这是一下子发生的。

## 相关实验与文章

颗粒与堵塞 · 阅读路径

### 从两个圆盘到堵塞点和它的记忆

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **两个圆盘怎样互相推，一百个圆盘怎样分担载荷**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/granular-jamming/contacts-and-force-chains/)
2. [实验 **颗粒冲击链与缓冲设计** 和一维颗粒链对照](https://sandboxphysics.com/zh/labs/granular-impact-chain/)
3. [文章 **堵住的堆积需要多少个接触**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/granular-jamming/counting-contacts/)
4. [文章 **怎样从接触力算出压强**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/granular-jamming/stress-from-contacts/)
5. [文章 **堵塞点在哪里，越过它之后压强怎样增长**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/granular-jamming/the-jamming-point/)
6. [文章 **加上摩擦后，剪切怎样让稀一些的颗粒堵住**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/granular-jamming/friction-and-shear-jamming/)
7. [实验 **剪切堵塞：不用挤压，带摩擦的颗粒也能锁住** 只靠剪切让颗粒承载](https://sandboxphysics.com/zh/labs/frictional-shear-jamming/)
8. [文章 **压进去再放出来，堆积记住了什么**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/granular-jamming/memory-and-reversal/)
9. [文章 **逐图读 O’Hern 等人 2003 年的论文，找出堵塞点**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/granular-jamming/reading-ohern-2003/)

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)