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title: "Dirac 自由波包的颤动互动实验｜Sandbox Physics"
description: "没有外力，自由 Dirac 波包为什么还会颤动？因为它同时含有正能和负能成分。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/dirac-trembling-motion/"
last_modified: "2026-10-27"
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DIRAC 动力学 / 两条能量分支

# Dirac 自由波包的颤动

**没有外力，自由 Dirac 波包为什么还会颤动？** 因为它同时含有正能和负能成分。两者之间的干涉项让平均速度来回振荡，这就是 Zitterbewegung。只用正能成分搭波包，干涉项没了，颤动也就停了。

放出一个自由 Dirac 波包，看它的概率流来回反向；再制备一个只含正能量的波包。拖动时间轴看完整的演化，位置和速度分别在各自重新制备的波包上采样。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

这是无量纲的一维量子模拟器。旋量的两个分量不是两条能量分支。位置密度和概率流都从同一个演化态算出。这里不模拟真实电子的轨迹、量子场，也不模拟粒子对产生。

向右流 向左流

平均速度 $0$

高度：密度的 18 倍 · 波带宽度为示意延展 · 箭头：局部流方向 · 金色：观察门

$0$

模型 → 独立重复制备 → 原始记录

## 把现象变成证据。

0

500 次位置测量与另外 500 次速度测量使用不同的独立制备。这些是理想模拟记录，不是联合测量，也不是粒子轨迹。

记录的平均位置

$\text{—}$

记录的平均速度

$\text{—}$

记录的门后占据

$\text{—}$

数值归一误差

$\text{—}$

01 / 模型

### 整段演化，一眼看见

横轴位置，向下为时间，亮度代表密度，浅色线为模型均值。点击选择时间与观察门；方向键可移动，Shift 加大步长。

$xE_0/(\hbar c)$ · $tE_0/\hbar$

02 / 观测

### 同一帧，独立采样。

青色为模型密度，金色柱为记录的位置频率，珊瑚色线为观察门。计数并不重建概率流。

移动观察门 $0$

03 / 读懂原因

### 中心颤动，速度变号。

青线为模型平均位置，珊瑚线为独立纵轴的模型平均速度；金点为样本均值与一倍标准误。

04 / 能量分支

### 两条分支，一个旋量。

横轴动量，纵轴能量。点大小表示各分支的初始谱权重，是视觉缩放，不是另一条概率轴。

$0$

$pc/E_0$ · $E/E_0$

最近 40 条原始记录

| 序号 | 测量 | 结果 |
| --- | --- | --- |

模型、单位与边界

任选一个模拟器能量标度后，位置、动量和时间分别用下面的单位，模拟中的速度为一。这里算的是一维旋量场，不是三维粒子轨迹。

$$
x_{\rm unit}=\frac{\hbar c}{E_0},\quad p_{\rm unit}=\frac{E_0}{c},\quad t_{\rm unit}=\frac{\hbar}{E_0}
$$

$$
i\partial_t\psi=(-i\sigma_x\partial_x+\mu\sigma_z+V)\psi,\quad \mu=mc^2/E_0
$$

$$
\rho=\psi^\dagger\psi,\quad j=\psi^\dagger\sigma_x\psi,\quad \partial_t\rho+\partial_x j=0
$$

$$
P_\pm(p)=\frac12\left(I\pm\frac{p\sigma_x+\mu\sigma_z}{\sqrt{p^2+\mu^2}}\right)
$$

每个 Fourier 模都精确地自由演化。初始高斯波包采用所选的旋量混合和相位；能量投影在演化之前施加，再重新归一，它改变的是制备态本身，不只是隐藏一个图层。

在长度 128 的周期区间上取 1024 个点，画面只显示其中一段。下面的边缘概率和归一误差用来监测数值边界。位置记录取网格中心；采样误差不包括离散化误差，也不包括真实实验噪声。

$0$

平滑图像始终表示模型，不是由显示的样本重建。观察门是无扰动的分析边界。不模拟粒子对产生、探测效率或离子阱硬件。

[Gerritsma et al. · Dirac simulation (2010)](https://arxiv.org/abs/0909.0674) · [Gerritsma et al. · Klein simulation (2011)](https://arxiv.org/abs/1007.3683)

## 从模型回到证据

只留一条能量分支，还会颤动吗？

- **操作**: 比较「让波包颤动」与「只留正能量」。拖动演化进度，再用两组重新制备的样本，分别测量位置和速度。
- **记录**: 把样本均值和模型期望值比较。去掉两条能量分支之间的干涉，自由平均速度就不再振荡。旋量的两个分量和两条能量分支是两回事。
- **边界**: 速度用无量纲单位，单位速度取一。这是两分量的一维类比模型，补充文中的四分量电子理论；它不观测真实电子的轨迹，不求解氢谱，也不计算磁矩反常。

$$
\begin{aligned}H_0&=p\sigma_x+\mu\sigma_z\\v&=\sigma_x\end{aligned}
$$

模型来源：[Gerritsma et al. · Dirac simulation (2010)](https://arxiv.org/abs/0909.0674)

[Dirac 电子：成功方程里尚未结束的故事](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-evidence/dirac-electron-spin-relativity/)

物理教程

## Dirac 自由波包的颤动

**背景** 放出一个自由 Dirac 波包，看它的概率流来回反向；再制备一个只含正能量的波包。拖动时间轴看完整的演化，位置和速度分别在各自重新制备的波包上采样。

**为什么值得理解** 没有外力，波包中心似乎应该匀速前进；可是两条能量分支一干涉，就不一定了。

先抓重点

- **核心问题**: 没有外力，自由 Dirac 波包为什么还会颤动？
- **一句话直觉**: 每条能量分支都有自己的旋量，并且随动量变化。两条分支一干涉，平均速度里就多出一个振荡项。

### 核心数学模型

#### 一维 Dirac 方程

$$
i\partial_t\psi=(p\sigma_x+\mu\sigma_z+V)\psi
$$

位置、动量和时间都是无量纲的，以模拟器里任意选定的能标为单位。速度算符是第一个 Pauli 矩阵。

#### 两条能量分支

$$
E_\pm(p)=V\pm\sqrt{p^2+\mu^2}
$$

在每个动量上只保留一条分支，得到的是另一个初态，不等于把一个旋量分量藏起来。

#### 概率守恒

$$
\partial_t\rho+\partial_xj=0,\quad j=2\operatorname{Re}(\psi_1^*\psi_2)
$$

密度和概率流都从同一个旋量算出。观察门不会让波包坍缩，也不会吸收它。

### 常见难点

#### 画面代表什么

**容易误解** 密度波带画的是真实粒子的轨迹，出现负能量就说明产生了粒子对。

**正确理解** 这是无量纲的一维量子模拟器。旋量的两个分量不是两条能量分支。位置密度和概率流都从同一个演化态算出。这里不模拟真实电子的轨迹、量子场，也不模拟粒子对产生。

### 动手实验

1. 01

   #### 先预测

   播放「让波包颤动」，观察箭头方向改变。

   **你会看到：** 即使没有势场，中心与平均速度也会振荡。

2. 02

   #### 改变条件

   切换「只留正能量」，再尝试「把质量归零」。

   **你会看到：** 只剩一条分支时，平均速度恒定；无质量的手性波包只平移，不颤动。

3. 03

   #### 采集并比较

   选一帧，采集 500 次位置，再另外采集 500 次速度。定格结果，改变制备，再恢复。

   **你会看到：** 直方图和样本均值会逼近模型预测，偏差在采样不确定性之内。每一次的原始结果都在 CSV 里。

物理结论

这是无量纲的一维量子模拟器。旋量的两个分量不是两条能量分支。位置密度和概率流都从同一个演化态算出。这里不模拟真实电子的轨迹、量子场，也不模拟粒子对产生。

## 相关实验与文章

量子物理证据 · 阅读路径

### 定律与量子理论的形成

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **Dirac 电子：成功方程里尚未结束的故事**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-evidence/dirac-electron-spin-relativity/)
2. [实验 **Klein 波包与超高势垒** 让波包撞上超高势垒：Klein 隧穿](https://sandboxphysics.com/zh/labs/klein-wavepacket-tunneling/)
3. [实验 **氢原子轨道与跃迁谱** 对照非相对论的氢原子谱](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hydrogen-orbitals-spectra/)
4. [实验 **自旋耦合与 Zeeman 谱** 对照有效模型给出的自旋谱](https://sandboxphysics.com/zh/labs/coupled-spin-spectroscopy/)

量子与场 · 入门路径

## 从一次测量开始

先预测结果，再数一数实际测到了什么。从一个量子比特出发，一路走到波包、束缚态和双光子干涉。

[从这里开始 → **量子态与 Born 测量** 先预测一个概率，转动分析器，再拿预测和多次测量得到的频率比一比。 观察 · 15 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
3. [3 波包传播与不确定性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
4. [4 量子谐振子态工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)
5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/quantum/#starter-path)