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title: "衍射透镜工作坊互动实验｜Sandbox Physics"
description: "衍射透镜怎样聚焦，相位台阶分得更细又能改善什么？环带间距决定各级的焦距，而且波长越长，焦点越近，和玻璃透镜正好相反。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/diffractive-lens-workshop/"
last_modified: "2026-10-27"
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光学 060 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

# 衍射透镜工作坊

**衍射透镜怎样聚焦，相位台阶分得更细又能改善什么？** 环带间距决定各级的焦距，而且波长越长，焦点越近，和玻璃透镜正好相反。相位台阶分得越细，进入主焦点的光越多：两级台阶约 41%，越接近连续的 kinoform，就越接近全部。色差却不会跟着减小。

在同一个带移动接收器的光台上，搭出振幅波带片、二元或多级相位浮雕和连续相位透镜。透过各自有限的环带瞳采集焦斑像素，再比较多个焦点、各级次效率、浮雕深度，以及与光滑折射透镜方向相反的色差。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型采用均匀的标量近轴 Fresnel 与 Hankel 积分，不求解 Maxwell 方程，也不对商用 Fresnel 透镜做光线追迹。设计波长固定为五百三十二纳米，谱线是合成的，片子是理想吸收体或无损相位浮雕。折射率由 SCHOTT 谱线数据插值。各级次功率、轴向扫描强度和有限接收器上的功率分开显示。几何放大比例不同，显示采用对数增益，这两点都明确标出。

物理教程

## 检验衍射透镜工作坊的物理过程

**背景** 每经过一个 Fresnel 半波带，传到轴上焦点的相位就增加半圈：$r_j^2=j\lambda_0f_0$。挡住相间的环带，可以避免相消；相位浮雕则把这些复振幅转个方向，让它们叠加。

**为什么值得理解** 衍射透镜怎样聚焦，相位台阶分得更细又能改善什么？

先抓重点

- **核心问题**: 衍射透镜怎样聚焦，相位台阶分得更细又能改善什么？
- **一句话直觉**: 一块固定的衍射片可以有多个名义焦点：$f_m(\lambda)=\frac{f_0\lambda_0}{m\lambda}$。波长越长，每个正级次的焦点越近。某一级的功率不等于它在轴上的峰高。负级次发散，零级没有有限焦点。

### 核心数学模型

#### 制成片的环带布局

$$
\begin{aligned}q&=\frac{r^2}{2\lambda_0 f_0},\quad 0\le q\le K\\a^2&=2K\lambda_0f_0\\h_{2\pi}&=\lambda_0/(n_0-1)\end{aligned}
$$

每个完整周期面积相等。改变整数周期数，改变的是真实孔径半径，而不只是画出来的环数。设计焦距一变，每条边界都跟着变。光源颜色不会改变已经做好的衍射片。

#### 玻璃浮雕带来正相位

$$
\begin{aligned}t(r,\lambda)&=\exp\!\left[\frac{2\pi i}{\lambda}(n(\lambda)-1)h(r)\right]\\h_{\rm kin}&=s_hh_{2\pi}(1-\{q\})\\h_M&=\frac{s_hh_{2\pi}}M\left(M-1-\lfloor M\{q\}\rfloor\right)\end{aligned}
$$

在设计波长下，向外逐级下降的台阶近似聚焦透镜的负二次相位，只差一个无关紧要的共同相位。二元片只有两级；连续相位片每满一整圈就包裹一次。厚度误差会在各级次之间重新分配功率，但各级次的名义焦点位置不变。

#### 让光场穿过真实环带传播

$$
\begin{aligned}U(\rho,z)&=\frac{2\pi}{i\lambda z}e^{ikz+ik\rho^2/(2z)}\\&\quad\cdot\int_0^a t(r)e^{ikr^2/(2z)}J_0(k\rho r/z)r\,dr\\I&=|U|^2\end{aligned}
$$

积分范围是有限圆瞳里精确的环带区域，焦斑不预设为 Lorentz 或 Gaussian 形状。轴上的积分用解析式，离轴像素的平均用同一个光瞳。三条谱线互不相干，强度直接相加。对照曲线是单独传播出来的，不是从选中像素重建的。

#### 各衍射级次的功率

$$
\begin{aligned}c_m&=\int_0^1t(u)e^{2\pi imu}\,du\\\eta_1^{\rm amp}&=\frac1{\pi^2}\\\eta_1^{\rm binary}&=\frac4{\pi^2}\\\eta_1^{(M)}&=\left[\frac{\sin(\pi/M)}{\pi/M}\right]^2\end{aligned}
$$

这些效率只适用于设计波长、设计深度下由完整周期组成的理想光瞳。二元片把功率分给会聚和发散的奇数级次；振幅片还要吸收一半的光，并留下零级。高级次焦点更小，所以功率较少时，轴上峰高也可能差不多。

#### 有限接收面上的功率

$$
\begin{aligned}I_p&=\frac1{p^2}\int_{\rm pixel}|U|^2\,dA\\P_{\rm window}&=\frac{p^2\sum_p I_p}{\pi a^2 I_{\rm inc}}\\\sum_{m=-\infty}^{\infty}\eta_m&=\int_0^1|t(u)|^2\,du\end{aligned}
$$

小方形接收器会漏掉没聚焦的光和衍射环。理想情况下对无穷多级次求和，和有限窗口测到的不是一回事。图上只画十五个级次，其余级次不会被悄悄算作吸收。辐照度以完美全瞳的设计峰值为标尺，从不按当前最亮的像素缩放。

#### 相反的色差方向

$$
\begin{aligned}f_1^{\rm DOE}&=f_0\lambda_0/\lambda\\f^{\rm ref}&=f_0\frac{n_0-1}{n(\lambda)-1}\\\epsilon_{\rm F}&\simeq\frac{ka^4}{8z^3}\end{aligned}
$$

玻璃为正常色散时，在光滑薄透镜对照里红光焦点更远，在固定的衍射片里红光焦点更近。折射率由标明的 SCHOTT 数据表插值。四次相位估计用来提示短距离下 Fresnel 近似的截断误差，不声称达到矢量计算或球面透镜处方的精度。宏观的折射式 Fresnel 槽不在本模型范围内。

### 常见难点

#### Fresnel 这个名字说明不了机理

**容易误解** 带同心槽的透镜都一样，最亮的焦点包含了全部透射功率。

**正确理解** 振幅遮挡、相位包裹和光滑折射是三种不同的机理。级次功率、扫描强度和有限窗口实际收到的功率，也是三个不同的量。

### 动手实验

1. 01

   #### 场景 1：遮住交替环带

   从振幅片开始，让接收器依次经过三级焦点和主焦点，再查看相间的不透明环带。

   **你会看到：** 不透明环挡掉一部分入射光。轴上出现多个峰，但零级没有有限焦点。

2. 02

   #### 场景 2：用相位代替吸收

   换成二元相位片，查看玻璃上的半波台阶；把深度降到零，看会聚级次消失。

   **你会看到：** 理想的二元相位片不吸收光，主级次的功率却只有约四成。

3. 03

   #### 场景 3：量化与色差焦点

   换成多级片，改变台阶级数，再试连续相位包裹；然后用三种颜色和光滑折射对照比较。

   **你会看到：** 台阶越多，功率越集中。改变波长，功率又会重新分配，焦点随颜色移动的方向也和光滑玻璃相反。

物理结论

做好的衍射片决定了几何、相位、多个名义焦点和接收器的数据。亮度不等于效率；相位包裹的衍射透镜也不是灯塔上的 Fresnel 透镜。

波与光学 · 入门路径

## 从一条光线到干涉测量

从折射出发，找到光线模型失效的地方，再用干涉测量极小的距离。

[从这里开始 → **光学界面探索器** 转动入射角，观察反射与透射功率此消彼长；再切换到“临界角与全反射”场景。 观察 · 11 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)

1. [1 光学界面探索器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)
2. [2 彩虹焦散观测站](https://sandboxphysics.com/zh/labs/rainbow-laboratory/)
3. [3 针孔相机](https://sandboxphysics.com/zh/labs/camera-obscura/)
4. [4 相干波合成器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/coherent-wave-composer/)
5. [5 Young 双缝实验台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/young-double-slit-bench/)
6. [6 Michelson 精密测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/michelson-precision-lab/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/waves-and-optics/#starter-path)