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title: "交叉对称：一个四点函数，两种展开互动实验｜Sandbox Physics"
description: "同一套算符数据，从两对点分别展开，得到的关联函数一样吗？数据自洽时是一样的。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/crossing-two-expansions/"
last_modified: "2026-10-30"
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FR37 · 共形自举

# 交叉对称：一个四点函数，两种展开

**同一套算符数据，从两对点分别展开，得到的关联函数一样吗？** 数据自洽时是一样的。四点函数可以先融合任意一对算符再求和，两种求和必须处处相等。自由费米子和自由玻色子的精确数据处处满足这个要求；挪动一个算符、改一个系数或保留的项太少，两种求和就对不上。

修改一维自由场的算符数据，比较四点函数的 s 通道与 t 通道求和。数据自洽时，两者在每个交比处都一致。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

四个相同的算符放在一条直线上：第一个在原点，第二个可以移动，第三个在 1 处，第四个在无穷远。s 通道把第一对点之间交换的算符的共形块加起来，t 通道用同一套数据按另一种配对求和。默认数据是广义自由费米子或玻色子的精确算符量纲与 OPE 系数（Gaiotto、Mazáč、Paulos 2013，式 4.17、4.20），虚线是关联函数的解析式。改动第一个算符或把求和截得太短，数据就不再满足交叉方程。全部为计算结果，没有实测数据。

同一个关联函数的两种展开

交叉残差（以 10 的幂计）

更多数值与计算方法

- **同一点的自由场解析值**: $0$
- **残差最大的位置**: $0$
- **第二个交换算符**: $0$
- **每个求和保留的算符数**: $0$
- **外算符量纲**: $0$

导出文件列出每个算符修改后与自由场的量纲和系数，以及 161 个交比上的两种求和、解析值和残差。

物理教程

## 一个关联函数，两种展开

**背景** 在临界点，理论由它的算符来描述：每个算符的标度量纲，以及两个算符靠近时各个算符出现得有多强。直线上四个算符的关联只依赖一个数，即交比。

**为什么值得理解** 可以先让前两个算符融合，也可以先让第二、第三个融合。两条路必须给出同一个答案。仅这一个要求，就足以检验任何一份候选算符清单。

先抓重点

- **核心问题**: 同一套算符数据，从两对点分别展开，得到的关联函数一样吗？
- **一句话直觉**: 自由费米子和自由玻色子的数据让两种求和在每个交比处都一致。挪动一个算符、改一个系数，或保留的项太少，一致性就被破坏；残差在某一种展开收敛慢的地方最大。

### 核心数学模型

#### 直线上的共形块

$$
k_\Delta(z)=z^{\Delta}\,{}_2F_1(\Delta,\Delta;2\Delta;z)
$$

每个量纲为 $\Delta$ 的交换算符贡献一个共形块，权重是 OPE 系数的平方 $c^2$。

#### 交叉方程

$$
(1-z)^{2\Delta_{\mathcal O}}\Bigl[1+\sum_{\Delta}c_\Delta^2\,k_\Delta(z)\Bigr]=z^{2\Delta_{\mathcal O}}\Bigl[1+\sum_{\Delta}c_\Delta^2\,k_\Delta(1-z)\Bigr]
$$

左边在 $z=0$ 附近展开，右边在 $z=1$ 附近展开。实验把两边之差画成交叉残差。

#### 自由费米子的数据

$$
\Delta_j=2\Delta_{\mathcal O}+2j+1,\qquad c_j^2=\frac{2\,(2\Delta_{\mathcal O})_{2j+1}^2}{(2j+1)!\,(4\Delta_{\mathcal O}+2j)_{2j+1}}
$$

这些闭式系数求和后正好给出 $A(z)=1+\bigl(\tfrac{z}{1-z}\bigr)^{2\Delta_{\mathcal O}}-z^{2\Delta_{\mathcal O}}$。

### 常见难点

#### 一点吻合不等于交叉对称

**容易误解** 两个通道在对称点吻合，数据就自洽。

**正确理解** 在 $z=\tfrac12$ 处，任何数据的残差都因对称性为零。交叉对称是对所有 $z$ 的要求，真正的信息在对称点处的奇数阶导数里。

### 动手实验

1. 01

   #### 看两个通道

   让第二个点沿直线来回移动。

   **你会看到：** 靠近第一个点时青色柱只剩几个算符，靠近第三个点时琥珀色柱如此。两边的总和始终相等。

2. 02

   #### 挪动一个算符

   左右拖动闪烁的算符，或选择“挪动一个算符，交叉失败”。

   **你会看到：** 残差在远离对称点的地方变大，标签显示两通道不再一致。

3. 03

   #### 把求和截短

   只保留两个算符。

   **你会看到：** s 通道在第一个点附近仍然准确，第二个点靠近第三个点时就失效了。

物理结论

交叉对称把一份算符清单变成可以检验的方程：自洽的数据处处一致，任何一项写错都会以残差的形式暴露出来。

## 相关实验与文章

共形 bootstrap · 阅读路径

### 从临界链到二维上限的拐点

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **同一个四点函数展开两次，得到交叉方程**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/conformal-bootstrap/four-point-function-two-expansions/)
2. [文章 **自由场精确满足交叉方程**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/conformal-bootstrap/free-fields-as-exact-solutions/)

量子与场 · 入门路径

## 从一次测量开始

先预测结果，再数一数实际测到了什么。从一个量子比特出发，一路走到波包、束缚态和双光子干涉。

[从这里开始 → **量子态与 Born 测量** 先预测一个概率，转动分析器，再拿预测和多次测量得到的频率比一比。 观察 · 15 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
3. [3 波包传播与不确定性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
4. [4 量子谐振子态工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)
5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/quantum/#starter-path)