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title: "量子临界 Ising 链：每个尺度上都是同一个图样互动实验｜Sandbox Physics"
description: "为什么临界自旋链在 16 个自旋的环上和 256 个自旋的环上看起来一样？因为在临界横场下没有任何特征长度。"
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last_modified: "2026-10-30"
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FR37 · 共形自举

# 量子临界 Ising 链：每个尺度上都是同一个图样

**为什么临界自旋链在 16 个自旋的环上和 256 个自旋的环上看起来一样？** 因为在临界横场下没有任何特征长度。自旋关联随距离按幂律下降，乘上环大小的固定次幂后，16 个自旋的环和 256 个自旋的环图样相同。按环大小重标的能级落在 Ising 共形场论给出的数上。离开临界横场，就出现关联长度，各个环不再一致。

比较 16 到 256 格点 Ising 环上的自旋关联。临界横场下，重标后的图样在每个环上都相同，能谱显出 Ising 共形场论。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

五个周期横场 Ising 环，从 16 个到 256 个自旋，按自由费米子精确求解。每个格点按它与顶部自旋的关联着色，并乘上环大小的四次方根。在临界横场下，这个乘积只取决于两个自旋之间占环长的比例，所以每个环颜色都一样。重标后的能隙逼近 Ising 共形场论的量纲八分之一、一和八分之九，基态能量给出中心荷二分之一。离开临界横场，各个环就对不上。全部为计算结果，没有实测数据。

临界点上所有环落在同一条曲线

能级落在 Ising 共形场论的量纲上

更多数值与计算方法

- **读数所用的环**: $0$
- **探针间距（格点数）**: $0$
- **第一个偶宇称能级，重标后（Ising：1）**: $0$
- **图中 2.4 以下的能级数**: $0$

第一张图的虚线是共形形状，只在半环处按 256 格点的临界环归一化一次，不随横场改变。无论横场取多少，能隙都除以临界速度 2J，所以离开临界点后，重标后的数值不再是量纲。

物理教程

## 临界链没有特征长度

**背景** 横场 Ising 链里，垂直于自旋方向的横场与让相邻自旋对齐的耦合相互竞争。横场较弱时自旋有序，较强时无序。两者相等时，链处于临界。

**为什么值得理解** 临界系统没有关联长度，也就没有什么来设定尺度。共形自举就从这种对称性出发；这个实验在一个可以精确求解的模型里把它展示出来。

先抓重点

- **核心问题**: 为什么临界自旋链在 16 个自旋的环上和 256 个自旋的环上看起来一样？
- **一句话直觉**: 临界横场下，关联随距离按幂律下降，所以乘上环大小的固定次幂后，每个环都一模一样。按环大小重标的能级，会落到 Ising 共形场论给出的那些数上。

### 核心数学模型

#### 环上的幂律

$$
\langle\sigma^x_0\sigma^x_r\rangle\propto\Bigl[\tfrac{N}{\pi}\sin\tfrac{\pi r}{N}\Bigr]^{-2\Delta_\sigma},\qquad 2\Delta_\sigma=\eta=\tfrac14
$$

环上起作用的是弦长。乘以 $N^{1/4}$ 之后，只剩下 $r/N$ 的函数。

#### 能级就是标度量纲

$$
E_n-E_0\simeq\frac{2\pi v}{N}\,\Delta_n,\qquad \Delta_n\in\{\tfrac18,\,1,\,\tfrac98,\,2,\dots\}
$$

有 $N$ 个格点的临界环就是柱面上的共形场论，所以每个能隙都是一个标度量纲乘以 $2\pi v/N$，推导见 Cardy 的讲义；这里 $v=2J$。

#### 由基态能量得到中心荷

$$
E_0=Ne_\infty-\frac{\pi v c}{6N}+\dots,\qquad c=\tfrac12
$$

同一个柱面公式把中心荷放进基态能量的 $1/N$ 项。环的精确能量在 $N=256$ 时给出 $c=0.500002$。

### 常见难点

#### 有序相的环看起来也相似

**容易误解** 只要各个尺寸的关联看起来差不多，链就一定是临界的。

**正确理解** 有序相里关联趋于常数，原始数值也会对得上。真正的检验是重标后的图样：乘上环大小的因子后，有序相的环越大越亮。

### 动手实验

1. 01

   #### 比较各个环

   从临界预设开始，跟着探针转一圈。

   **你会看到：** 在每个角度，五个环颜色都相同；第一张图里的曲线彼此重合。

2. 02

   #### 离开临界点

   把横场调到 0.8，再调到 1.2。

   **你会看到：** 各环分开：有序时外圈更亮，无序时颜色迅速褪去。中心荷降到零。

3. 03

   #### 读能谱

   回到临界横场，看第二张图。

   **你会看到：** 重标后的能级落在 $\tfrac18,\ 1,\ \tfrac98$ 和 $2$ 的虚线上。

物理结论

临界点具有标度不变性，它的数据就是一小串标度量纲和一个中心荷。自举想做的，是不借助模型直接求出这样的数据。

## 相关实验与文章

共形 bootstrap · 阅读路径

### 从临界链到二维上限的拐点

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **为什么临界链在每个尺度上看起来都一样**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/conformal-bootstrap/same-correlation-at-every-scale/)
2. [实验 **量子自旋链淬火** 同一条链，换成短链并离开平衡](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-spin-chain-quench/)
3. [文章 **共形对称把临界点归结为一张算符清单**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/conformal-bootstrap/conformal-symmetry-and-operators/)

量子与场 · 入门路径

## 从一次测量开始

先预测结果，再数一数实际测到了什么。从一个量子比特出发，一路走到波包、束缚态和双光子干涉。

[从这里开始 → **量子态与 Born 测量** 先预测一个概率，转动分析器，再拿预测和多次测量得到的频率比一比。 观察 · 15 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
3. [3 波包传播与不确定性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
4. [4 量子谐振子态工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)
5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/quantum/#starter-path)