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title: "自旋耦合与 Zeeman 谱互动实验｜Sandbox Physics"
description: "能级明明存在，谱线为什么会消失？有能级，不等于有谱线，微波还得能把这两个态耦合起来。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/coupled-spin-spectroscopy/"
last_modified: "2026-10-27"
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Q024 · 磁场中的耦合自旋能级

# 自旋耦合与 Zeeman 谱

**能级明明存在，谱线为什么会消失？** 有能级，不等于有谱线，微波还得能把这两个态耦合起来。在选定的偏振下，如果两个态之间的驱动矩阵元为零，这条跃迁就不会出现。

用磁场把电子自旋和核自旋耦合后的能级分开。转动微波驱动，记录谱线，再找出每条允许的跃迁连着哪两个态。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型是两个二分之一自旋粒子的示意组合。能量用参考单位，核磁矩比取一个设定值，不对应任何具体原子。谱线计数来自非相干的弱响应模型，假定态制备理想、读出只分是与否。

02 / 读出器到底记录了什么？

## 看哪些探测频率会改变状态。

显示模型参考

$h\nu/A_0$ · 蓝色：当前样本；橙色：最近保存的另一组样本；虚线：当前模型。拖动游标调频。

当前频率

$\text{—}$

改变次数 / 制备次数

— $\text{—}$

当前频率的不确定度

这个频率上独立二元读数的百分之九十五 Wilson 区间，采样前不显示。逐点区间不是联合置信带；看着结果随时决定停止采样时，它也不再保证覆盖率。

最近 60 次读数

蓝色表示改变，灰色表示未变；每次都重新制备。

已记录样本

能级与电荷敏感性

03 / 谱线从哪里来？

## 能级在移动，驱动决定哪些能级之间能跃迁。

$b$ · $E/A_0$ · 这是模型结果。左右拖动，也可以用对应滑块和键盘调节。

彩色箭头为从制备态出发的允许跃迁，粗细表示归一化强度；灰线为其他能级。

$\text{—}$

查看制备态与脉冲

模型检查 · 不增加计数

## 同一个态，两种描述。

直积顺序 $\uparrow\uparrow,\ \uparrow\downarrow,\ \downarrow\uparrow,\ \downarrow\downarrow$

耦合顺序 $(F,m)=(0,0),(1,1),(1,0),(1,-1)$

两组柱子描述同一个制备好的本征态。柱高是概率，不表示原子在几种隐藏构型之间跳来跳去。零场时三重态简并，本征基的选法只是约定；旋转这组基会改变各分量，但简并谱线的总强度不变。

已保存的对照样本

怎样保存和比较样本

最多保存八组样本，保存后不再变化。恢复后可以查看；再采集会开始新记录。CSV 含逐次读数、实际探测频率和制备参数。用同一种子会重复同样的抽样，不算独立证据。

模型、基底收敛与来源

能量以参考能量为单位。探测频率指普通频率乘以 Planck 常数，不是角频率。曲线和能级箭头是模型预测；记录来自模拟的独立试验，每次都经过制备、探测和读出。

$$
H/A_0=a\,\mathbf I\!\cdot\!\mathbf S+b(S_z-rI_z),\quad I=S=\tfrac12
$$

$$
O=S_z\cos\theta+S_x\sin\theta,\quad r=0.0015
$$

自旋算符无量纲，用直积基底写出；静磁场正方向竖直。微波磁场的轴在水平—竖直平面内，零角度为纵向。超精细耦合为正，零场基态是单重态。核磁矩比取示例值，不含具体同位素常数、四极项、Doppler 展宽和光泵浦动力学。

[Steck · Hyperfine / Zeeman Hamiltonians and Breit–Rabi limits](https://steck.us/alkalidata/rubidium87numbers.pdf)——只借用其中的算符约定，本模型不是铷原子。

$\text{—}$

$$
p(\nu)=0.01+0.20\sum_{j\ne i}w_{ji}\left[1+4((\nu-\nu_{ji})/\Gamma)^2\right]^{-1}
$$

$$
w_{ji}=\frac{|\langle j|O|i\rangle|^2}{\sum_{k\ne i}|\langle k|O|i\rangle|^2}
$$

读出采用假定的非相干 Lorentz 线形响应：假改变背景固定为百分之一，百分之二十的对比度按强度分给各条跃迁。线宽为半高全宽。强度在每种制备内归一化，所以不同设置下的峰高不能用来比较绝对偶极矩。所有能级都参与归一化，包括图示范围以外的跃迁。这个读出模型不求解相干脉冲动力学，也不是拟合得到的仪器标定。

物理教程

## 自旋耦合与 Zeeman 谱

**背景** 用磁场把电子自旋和核自旋耦合后的能级分开。转动微波驱动，记录谱线，再找出每条允许的跃迁连着哪两个态。

**为什么值得理解** 频谱既反映 Hamiltonian，也反映用来探测它的算符。

先抓重点

- **核心问题**: 能级明明存在，谱线为什么会消失？
- **一句话直觉**: 没有谱峰，不一定是没有能级；驱动的矩阵元可能为零。

### 核心数学模型

#### 耦合自旋 Hamiltonian

$$
H/A_0=a\,\mathbf I\!\cdot\!\mathbf S+b(S_z-rI_z)
$$

二分之一自旋算符没有量纲，耦合为正，核磁矩比只是示例。静磁场沿竖直轴。

#### 零场时的能级

$$
E_{F=0}/A_0=-3a/4,\qquad E_{F=1}/A_0=a/4
$$

零场时有一个单重态和三个简并的三重态，两者之间的能隙等于超精细耦合。

#### 探测算符

$$
O=S_z\cos\theta+S_x\sin\theta
$$

转动驱动只改变矩阵元，不改变静态能级。零场时三重态基底怎么选只是约定，同一频率上的总强度不受影响。

### 常见难点

#### 不是每个能级都有谱峰

**容易误解** 每个能级都应该产生一个看得见的谱峰。

**正确理解** 制备的态、探测算符、线宽、频率范围和有限的计数都有影响。图示频带之外的谱线，仍然参与强度归一化。

#### 模型不是标定仪器

**容易误解** 模拟谱线很窄就证明实验寿命很长。

**正确理解** 线宽和低对比度的 Lorentz 响应是给模型设定的输入。另外那个脉冲测试用的是旋波模型，不从这些计数推断脉冲动力学或硬件噪声。

### 动手实验

1. 01

   #### 扫描前先预测

   关掉静磁场。三重态简并时，还应剩几个不同的跃迁频率？

   **你会看到：** 虚线来自模型，不是采到的数据；预测时可以先把它藏起来。

2. 02

   #### 采集并保存

   扫描并保存样本，只改变一项制备条件，再扫一次。

   **你会看到：** 每个频率都重新制备、独立采样。橙色点保留的是最近一次保存的制备。

3. 03

   #### 解释消失的谱线

   在有限磁场下切换纵向和横向驱动，看哪些跃迁被允许。

   **你会看到：** 谱线位置由能量差决定；但矩阵元不为零，谱线才看得见。

物理结论

模型是两个二分之一自旋粒子的示意组合。能量用参考单位，核磁矩比取一个设定值，不对应任何具体原子。谱线计数来自非相干的弱响应模型，假定态制备理想、读出只分是与否。

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