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title: "旋转流变仪与 Couette–Poiseuille 流互动实验｜Sandbox Physics"
description: "液体越来越容易剪动，扭矩为什么还会增大？扭矩量的是某个转速下的总阻力。"
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last_modified: "2026-10-29"
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M096 · IN06 从扭矩量黏度

# 旋转流变仪与 Couette–Poiseuille 流

**液体越来越容易剪动，扭矩为什么还会增大？** 扭矩量的是某个转速下的总阻力。转得更快，液体剪动得也更快，即使单位剪切速率对应的阻力下降，总扭矩仍可能上升。把标定后的转速扫描与圆筒尺寸一起换算，才能分清这两种变化。

切换同轴圆筒与截尖锥板，标定扭矩传感器并保存转速扫描。比较牛顿标准液与剪切变稀样品，再从保留的读数求出流动曲线。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

采用定常、等温、无滑移模型：同轴圆筒保留有限间隙，忽略端部扭矩；截尖锥板采用小角局部平行薄层近似，忽略有限角修正与边缘流动。剪切变稀采用有限转速范围内的无记忆幂律，不含弹性记忆、屈服应力、壁滑、二次流和发热。非牛顿样品的牛顿几何换算标为名义值，幂律修正随几何变化。另测牛顿参考液来标定传感器计数。温度由外部设定并记录，材料参数不随温度变化。原有平板 Couette–Poiseuille 工作台保留为独立模式。

### 从保留的传感器读数求流动曲线

默认模拟转速扫描，另行标定

$\dot\gamma_{\mathrm{nom}}/\mathrm{s}^{-1},\quad |\tau_{\mathrm{nom}}|/\mathrm{Pa}$

青色为升速，金色为降速。无记忆样品的两趟扫描应当重合；曲线只用保留的观测拟合。

表观黏度与有限间隙修正

$\dot\gamma_{\mathrm{nom}}/\mathrm{s}^{-1},\quad \eta/\mathrm{Pa\,s}$

青色采用牛顿几何换算；粉色用扫描拟合指数修正圆筒壁面剪切率，或修正截锥的应力换算。

原始观测与标定

保留的编码器转速与扭矩计数

| 时间（秒） | 角速度（弧度每秒） | 计数 | 温度（摄氏度） | 扫描 |
| --- | --- | --- | --- | --- |

CSV 与 JSON 保留几何、标准液读数、零点读数、标定编号、版本和种子。预览操作不会改写这些记录。

物理教程

## 把转得多快与有多难剪动分开

**背景** 电机带着内筒转，外杯固定。液体把扭矩从内筒传到杯壁，轴上的传感器量出电机需要供给多大的扭矩。

**为什么值得理解** 同一种液体，转得快时往往更费劲。要量黏度，必须同时知道剪动有多快，以及杯与转子的几何尺寸。

先抓重点

- **核心问题**: 液体越来越容易剪动，扭矩为什么还会增大？
- **一句话直觉**: 只要剪切率增长得比应力快，扭矩上升时，黏度仍会下降。

### 核心数学模型

#### 牛顿液体的有限间隙换算

$$
\dot\gamma_i=\frac{2|\Omega|R_o^2}{R_o^2-R_i^2},\qquad M=\frac{4\pi\eta L\Omega R_i^2R_o^2}{R_o^2-R_i^2}
$$

内筒旋转，外杯固定。长度取浸入液体的侧壁长度，忽略端面扭矩。间隙变宽后，不能用平板近似替代这个几何因子。

#### 由扫描斜率修正幂律样品的壁面剪切率

$$
n=\frac{d\log|M|}{d\log|\Omega|},\qquad \dot\gamma_i=\frac{2|\Omega|}{n[1-(R_i/R_o)^{2/n}]}
$$

斜率由标定后的保留扭矩读数拟合。修正式适用于无记忆、整个环隙都在剪动的幂律液体。

#### 电机功率转成黏性耗散

$$
M\Omega=\int_{R_i}^{R_o}|\tau(r)|\dot\gamma(r)\,2\pi rL\,dr\ge0
$$

旋转方向反过来，电机供给的扭矩也反过来，两者相乘仍为正。等温模型假定外部恒温浴带走这些热量。

#### 把截尖中心一起计入扭矩

$$
\begin{aligned}h(r)&=\max(h_0,r\tan\alpha)\\ |M|&=2\pi\int_0^R K\left(\frac{|\Omega| r}{h(r)}\right)^n r^2\,dr\end{aligned}
$$

每一圆环的应力大小乘面积，再乘力臂，就是它承担的扭矩大小。电机扭矩的正负随旋转方向改变。锥角与截断间隙定义的局部高度，也用于画面。样品恰好填到指定半径；采用薄层近似，忽略有限角修正与边缘流动。

### 常见难点

#### 剪切变稀也可以原路返回

**容易误解** 剪切变稀一定会画出正反扫的滞后环。

**正确理解** 这里的幂律没有记忆，升速与降速沿同一条曲线返回，只差探测噪声。材料结构随时间重建，需要另外的本构模型。

### 动手实验

1. 01

   #### 换成锥板

   选“锥板让剪切接近均匀”，再看“样品间隙”。

   **你会看到：** 浅锥与下板替代外杯和内筒。间隙高度放大十二倍；保留扫描同时保存锥板尺寸和单独的参考液标定。

2. 02

   #### 比较牛顿液体的两个转速

   先选“牛顿标准液”，再选“加速，黏度相同”。

   **你会看到：** 理想负载扭矩随转速增大；另存扫描后，拟合的流动指数仍接近一。

3. 03

   #### 放宽间隙

   选“放宽圆筒间隙”，比较两条黏度曲线。

   **你会看到：** 剪切变稀样品的名义换算与修正结果分开。修正量由圆筒尺寸和扫描拟合指数共同决定。

4. 04

   #### 保存后再调装置

   保存转速扫描，再拖动金色驱动环或改变间隙，导出记录。

   **你会看到：** 装置预览采用新设置；保留的观测与导出文件仍使用保存时的几何和标定。

物理结论

先标定扭矩，再记录多个转速；牛顿公式给出的名义剪切率与材料相关的真实壁面剪切率要分清。

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