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title: "宇宙学似然与先验互动实验｜Sandbox Physics"
description: "同一组天空数据，为什么能给出稳定的估计，却改变模型偏好？似然很集中时，放宽先验几乎不改变振幅估计。"
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FR08 · 数据怎样限制一个振幅

# 宇宙学似然与先验

**同一组天空数据，为什么能给出稳定的估计，却改变模型偏好？** 似然很集中时，放宽先验几乎不改变振幅估计。模型证据却要在整个先验范围内取平均；范围越宽，拟合较差的振幅占得越多，自由振幅模型得到的支持就可能下降。

用 ACT DR6 公开的透镜带功率拟合振幅。放宽先验，或加入额外响应不确定度，比较似然、后验和模型证据。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

观测点与完整协方差取自 ACT DR6 透镜 v1.2 公开产品。采用产品附带的固定会聚谱，并用公开窗口矩阵分箱，只改变谱的整体振幅。带功率似然为高斯形式，包含标明的 Hartlap 修正；重建响应和偏置的宇宙学依赖保持固定。可选的额外响应振幅不确定度是教学干扰参数，叠加在公开协方差之上。天空重映射是放大偏折的合成示意，与实测带功率分开展示。这里的条件振幅不同于温度谱的透镜参数，也不直接测量暗能量或物质密度。

## 一组实测谱，不同先验

琥珀色点：ACT DR6 观测。绿色：不限振幅范围的似然拟合。蓝色虚线：试探振幅。

公开的会聚带功率 $10^7 C_L^{\kappa\kappa}$

归一化先验、后验与单位面积似然 $A_\kappa$

蓝色：似然 琥珀色虚线：先验 绿色：后验

怎样读证据比

对数证据比为正时，在当前先验和固定谱形下，自由振幅模型更受支持；为负时更支持振幅固定为一。这个比较没有检验完整的宇宙学扩展。

[下载冻结数据与来源记录](https://sandboxphysics.com/data/fr08/lensing-act-dr6-v1.2.json)

物理教程

## 把参数估计与模型比较分开

**背景** 微波光子从早期宇宙飞来，途中被引力偏折。天空各处的形变彼此相关，由此能测量透镜场的功率。ACT 把结果按多极矩分箱公开，也给出各箱之间的协方差。

**为什么值得理解** 一个振幅估得很精确，和增加这个自由参数是否划算，是两个问题。同一组观测可以分别回答它们。

先抓重点

- **核心问题**: 为什么放宽先验时，证据比拟合振幅变得更明显？
- **一句话直觉**: 后验描述一个模型内部哪些振幅更可信，证据则把整个先验范围内的拟合取平均。

### 核心数学模型

#### 用一个振幅缩放固定谱

$$
m_b(A_\kappa)=A_\kappa\sum_L W_{bL}C_{L,\mathrm{fid}}^{\kappa\kappa},\qquad\chi^2=(d-m)^\mathsf{T}\Sigma^{-1}(d-m)
$$

窗口矩阵把参考会聚谱分箱。完整协方差保留观测箱之间的相关性，有效协方差还包含标明的有限模拟次数修正。

#### 后验与证据

$$
p(A_\kappa\mid d,M)=\frac{\mathcal L(d\mid A_\kappa,M)\pi(A_\kappa\mid M)}{Z_M},\qquad Z_M=\int\mathcal L\pi\,dA_\kappa
$$

均匀先验的积分等于一。固定模型把振幅取为一；自由模型在所选先验内取平均。证据比比较的就是这两个条件模型。

#### 把不确定的响应积分掉

$$
d=(A_\kappa+g)t+\epsilon,\quad g\sim\mathcal N(0,s_g^2),\quad\Sigma=C/h+s_g^2tt^\mathsf T
$$

可选的额外振幅偏移与信号振幅完全退化。把它积分掉，振幅误差会变宽。它的宽度是明确的教学设置，独立于 ACT 已发表的不确定度模型。

### 常见难点

#### 似然不是模型的概率分布

**容易误解** 两个模型的最佳拟合一样好，数据对它们的支持就一样。

**正确理解** 一个自由参数范围很宽的模型，可能只有很小一段先验能拟合好。证据会计入这段所占的比例，最佳拟合本身没有包含这条信息。

### 动手实验

1. 01

   #### 先看观测给出的宽度

   选“数据决定宽度”，比较似然和后验。

   **你会看到：** 先验比似然宽得多、局部又平坦时，集中的似然几乎原样进入后验。

2. 02

   #### 给自由模型更大的范围

   选“先验放得更宽”，比较后验区间和对数证据比。

   **你会看到：** 区间几乎不动，平均时纳入更多拟合差的振幅，自由模型的证据会下降。

3. 03

   #### 让响应也有不确定度

   选“响应也不确定”，再增大“额外振幅不确定度”。

   **你会看到：** 额外响应偏移能模仿一部分信号，同一组观测便允许更宽的信号振幅。

物理结论

解释模型偏好之前，先说明改变了哪个参数、固定了哪些理论和协方差，以及先验怎样归一化。

## 相关实验与文章

从宇宙膨胀走到天空推断 · 阅读路径

### 膨胀、声音、天空统计与推断

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **沿着公开透镜数据读懂似然**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmology/lensing-likelihood/)
2. [文章 **从天空图案推断暗成分，需要哪些条件**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/cosmology/dark-components-and-models/)
3. [实验 **宇宙微波背景声学峰** 把几何补偿写成一个可检验问题](https://sandboxphysics.com/zh/labs/cmb-acoustic-peaks/)

波与光学 · 入门路径

## 从一条光线到干涉测量

从折射出发，找到光线模型失效的地方，再用干涉测量极小的距离。

[从这里开始 → **光学界面探索器** 转动入射角，观察反射与透射功率此消彼长；再切换到“临界角与全反射”场景。 观察 · 11 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)

1. [1 光学界面探索器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)
2. [2 彩虹焦散观测站](https://sandboxphysics.com/zh/labs/rainbow-laboratory/)
3. [3 针孔相机](https://sandboxphysics.com/zh/labs/camera-obscura/)
4. [4 相干波合成器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/coherent-wave-composer/)
5. [5 Young 双缝实验台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/young-double-slit-bench/)
6. [6 Michelson 精密测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/michelson-precision-lab/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/waves-and-optics/#starter-path)