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title: "复合光学工作台互动实验｜Sandbox Physics"
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last_modified: "2026-10-29"
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光学 023 · 一对透镜，一个矩阵

# 复合光学工作台

**一个矩阵怎样说清两块透镜对激光束做了什么？** 按顺序把透镜 1、两镜间隔、透镜 2 的矩阵乘起来，这对透镜就合成一个由四个数组成的矩阵。左下角的数是这对透镜光焦度的相反数。两镜间隔等于两个焦距之和时，它为零：平行的激光束射出后仍然平行，宽度放大的倍数就是左上角那个数的大小，发散按同一倍数减小，所以远处墙上的光斑更小。

在 He-Ne 激光束里移动两块透镜，读它们合成的光线传输矩阵：左下角元素为零时，光束平行射出，变宽，发散变小。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

两块透镜都按空气中的薄透镜处理，用 Kogelnik 和 Li（1966）的近轴光线传输矩阵组合，距离从各自的主平面量起；真实透镜的厚度、像差和反射损失都没有计入。激光束是理想的基模高斯光束，波长 632.8 nm，它的复光束参数按 ABCD 定律穿过同样的矩阵。束腰取在激光器出光面上，直径 0.80 mm，量的是光强降到峰值 13.5 % 的两点之间；由此得到的全发散角 1.00 mrad，与 05-LHP-151 He-Ne 激光器的标称值一致。页面上所有光束宽度都这样量。每块透镜直径 25.4 mm；透镜 2 处的光束比它还宽时，页面会提示，但被镜框挡掉的光不在模型里。比滑块步长所能产生的最小值还小一千倍的矩阵元素只是舍入误差，按零显示。墙面与光束垂直，室内空气静止。场景里的宽度按长度的 3 倍绘制，到墙的那段距离按真实长度绘制。

物理教程

## 从矩阵读出扩束器

**背景** 激光束很细，但会散开：小型 He-Ne 激光器 0.8 mm 粗的光束，照到 10 m 外的墙上已经约 10 mm 宽。前后两块透镜组成的扩束器先把光束放宽，让它散得慢些。这对透镜做了什么，可以从一个由四个数组成的矩阵读出来，它是透镜 1、中间间隔、透镜 2 三个矩阵的乘积。

**为什么值得理解** 测量用的激光指示器、激光测距仪、射进望远镜的激光束，都这样扩束。同样四个数，还能告诉你任何一组透镜的焦距、主平面在哪里，以及它能不能让平行光保持平行。

先抓重点

- **核心问题**: 一个矩阵怎样说清两块透镜对激光束做了什么？
- **一句话直觉**: 左下角的 $C$ 是这对透镜光焦度的相反数。两镜间隔等于两个焦距之和时，$C=0$：平行光射出后仍平行，宽度变为 $|A|$ 倍；按激光束的 ABCD 定律，发散角也减为 $1/|A|$。墙足够远时，更宽的光束反而在墙上打出更小的光斑。

### 核心数学模型

#### 光线传输矩阵

$$
\begin{pmatrix}y_{2}\\\theta_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_{1}\\\theta_{1}\end{pmatrix}
$$

一条光线用它离轴的高度 $y$ 和斜率 $\theta$ 表示。长 $L$ 的一段空间，$A=D=1$，$B=L$，$C=0$；薄透镜 $A=D=1$，$B=0$，$C=-1/f$（Kogelnik 和 Li，1966，表 I）。几个部分串起来，矩阵就是它们的乘积，最后经过的放在最左边，行列式 $AD-BC$ 等于 1。Lab 里 $B$ 以米为单位，$C$ 以 $\mathrm{m^{-1}}$ 为单位，这样 $C$ 和透镜滑块一样按屈光度读。

#### 这对透镜的光焦度

$$
C=-\frac{1}{f_{1}}-\frac{1}{f_{2}}+\frac{d}{f_{1}f_{2}}
$$

透镜 1、间隔 $d$、透镜 2 三个矩阵相乘，得到这一项，即 Kogelnik 和 Li 表 I 第 4 项在透镜 1 前面不留距离的情形。这对透镜相当于一块焦距 $f=-1/C$ 的透镜，焦距从后主平面量起；后主平面在透镜 2 往回 $(A-1)/C$ 处，不一定在两块透镜之间。20 D 和 −40 D 两块透镜相距 30 mm 时，$f=250\,\mathrm{mm}$，后主平面在透镜 2 前 150 mm。

#### 两个焦点重合

$$
d=f_{1}+f_{2}:\quad A=-\frac{f_{2}}{f_{1}},\ D=-\frac{f_{1}}{f_{2}}
$$

间隔等于两个焦距之和时，$C$ 为零，这对透镜无焦。$A$ 是光线高度的变化倍数：先 25 mm 后 100 mm 时是 −4，负号表示光束上下颠倒；先 −25 mm 后 100 mm 时是 +4。Edmund Optics 给开普勒式和伽利略式扩束器的放大率 $-f_{2}/f_{1}$ 和镜间距与此一致。

#### 激光束的 ABCD 定律

$$
q_{2}=\frac{A\,q_{1}+B}{C\,q_{1}+D}
$$

高斯光束用一个复数 $q$ 描述：实部说明光束离束腰多远，虚部在束腰处等于 $\pi w_{0}^{2}/\lambda$，说明束腰多细（Kogelnik 和 Li，式 16 至 18 和式 43）。经过无焦透镜对，$q_{2}=A^{2}q_{1}+AB$：束腰变为 $|A|$ 倍；全发散角是 $2\lambda/(\pi w_{0})$，于是按同一倍数减小。

### 常见难点

#### 光束越宽，散得越慢

**容易误解** 把激光束放宽，光斑在哪里都会变大。

**正确理解** 只在近处如此。离激光器 1 m 处，扩束后的光束 3.27 mm，裸光束只有 1.29 mm；但前者的发散只有后者的四分之一，到 10 m 处就成了 4.34 mm 对 10.1 mm。光束散得多快，由它最细处的宽度决定，束腰越宽，散得越慢。

#### 平行射出，远处光斑未必最小

**容易误解** 要在远处墙上得到最小光斑，光束必须严格平行射出。

**正确理解** 平行光在无穷远处散得最少。墙在有限距离时，把放宽的光束聚焦到墙上，光斑更小：10 m 处，透镜 2 再往外放 1.2 mm，光斑从 4.34 mm 变成 2.40 mm。

#### 无焦透镜对没有焦距

**容易误解** 扩束器就是一块焦距很短或很长的透镜。

**正确理解** 它的 $C$ 为零，$f=-1/C$ 不存在，也没有主平面。它改变平行光束的宽度和发散，却不把光会聚到焦点；Lab 把它的焦距显示为无穷大。

#### 焦距不从透镜量起

**容易误解** 两块透镜的焦距，就是最后一块透镜到焦点的距离。

**正确理解** 那段距离是后焦距，等于 $-A/C$。焦距 $-1/C$ 从后主平面量起；远摄组合的后主平面在透镜 1 前 120 mm，两块透镜都不在那里：后焦距 100 mm，焦距 250 mm。

### 动手实验

1. 01

   #### 读矩阵

   保持默认预设“开普勒扩束”，读矩阵和墙上光斑。

   **你会看到：** $A=-4$，$C=0$：光束在两镜之间先经过一个焦点，再以 3.24 mm 的宽度平行射出，上下颠倒。墙上光斑 4.34 mm，只有激光器时是 10.1 mm；数据行里灰色虚线是不加透镜的光束，看得出它在半路追上并超过了扩束后的光束。

2. 02

   #### 拖动透镜 2

   沿导轨把透镜 2 前后各拖几毫米。

   **你会看到：** 过程行里这对透镜的光焦度在 125 mm 处穿过零。墙上光斑最小的位置在 126.2 mm，2.40 mm：这时光束射出时略微会聚，在墙附近收到最细。

3. 03

   #### 把透镜 2 放偏 5 mm

   载入“透镜 2 偏了 5 mm：远处光斑变大”。

   **你会看到：** $C$ 变成 $2\,\mathrm{m^{-1}}$，相当于一块 −500 mm 的透镜。光束在透镜 2 后 2.1 m 处收到最细，然后比裸激光散得还快，墙上光斑涨到 12.2 mm。

4. 04

   #### 先放发散透镜

   载入“伽利略扩束：中间没有焦点”。

   **你会看到：** 透镜 1 的焦距是 −25 mm，两镜相距 75 mm，$A=+4$：宽度放大同样的倍数，光束不颠倒，导轨更短。光像是从透镜 1 前 25 mm 处的一点散开的，墙上光斑 4.48 mm。

5. 05

   #### 把扩束器倒过来

   载入“反过来：光束变细，散得更快”。

   **你会看到：** 100 mm 的透镜在前，$A=-0.25$。光束射出时只有 0.219 mm 宽，全发散角 4.03 mrad，墙上光斑 39.1 mm。

6. 06

   #### 中继光束

   载入“中继：宽度不变，上下颠倒”。

   **你会看到：** 两块 100 mm 透镜相距 200 mm，$A=D=-1$。光束宽度仍是 0.80 mm，上下颠倒；束腰被往前搬了 400 mm，所以墙上光斑 9.70 mm，比只有激光器时略小。

7. 07

   #### 做一个远摄镜头

   载入“远摄：短镜身，长焦距”。

   **你会看到：** 50 mm 的透镜后面 30 mm 处放一块 −25 mm 的透镜，合起来相当于一块 250 mm 的透镜。它的后主平面在透镜 1 前 120 mm，所以平行光在透镜 1 后 130 mm 处就会聚，只有焦距的一半略多。

物理结论

默认的一对透镜，焦距先 25 mm 后 100 mm，相距 125 mm，$A=-4$，$C=0$。光束进来时 0.81 mm 宽，出去时 3.24 mm 宽，全发散角从 1.01 mrad 降到 0.252 mrad；在离激光器 10 m 的墙上，光斑 4.34 mm，只有激光器时是 10.1 mm，中心亮 5.4 倍。透镜 2 往外多放 5 mm，这对透镜就成了 −500 mm 的透镜：光束在它后面 2.1 m 处收到最细，墙上光斑涨到 12.2 mm。透镜 1 换成焦距 −25 mm 的发散透镜，75 mm 就能放大 4 倍，两镜之间也没有焦点。同样两块透镜反过来装，光束细到原来的四分之一，墙上光斑 39.1 mm。

## 相关实验与文章

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1. [文章 **光镊：抓住小球之后，怎样量力**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/probe-evidence/optical-tweezers-force-calibration/)
2. [实验 **光镊：用布朗运动标定刚度** 从小球的热运动标定光阱](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-tweezers-calibration/)
3. [实验 **激光冷却与磁光阱** 比较原子受到的光力](https://sandboxphysics.com/zh/labs/laser-cooling-magneto-optical-trap/)

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[从这里开始 → **光学界面探索器** 转动入射角，观察反射与透射功率此消彼长；再切换到“临界角与全反射”场景。 观察 · 11 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)

1. [1 光学界面探索器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)
2. [2 彩虹焦散观测站](https://sandboxphysics.com/zh/labs/rainbow-laboratory/)
3. [3 针孔相机](https://sandboxphysics.com/zh/labs/camera-obscura/)
4. [4 相干波合成器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/coherent-wave-composer/)
5. [5 Young 双缝实验台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/young-double-slit-bench/)
6. [6 Michelson 精密测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/michelson-precision-lab/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/waves-and-optics/#starter-path)