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title: "压杆屈曲与初始缺陷互动实验｜Sandbox Physics"
description: "受压的柱子会先压弯失稳，还是材料先屈服？细长压杆通常先失稳。"
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last_modified: "2026-10-27"
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M026 · 固体力学

# 压杆屈曲与初始缺陷

**受压的柱子会先压弯失稳，还是材料先屈服？** 细长压杆通常先失稳。它的屈曲载荷取决于刚度和长度，与强度无关；载荷越接近这个值，一点点初弯或偏心就会迅速放大。所以材料再结实，也可能还没屈服就先压弯了。

给两端铰支的矩形压杆加压，杆可以先带一点弯，也可以偏心受压。先看线性理论里弯曲怎样随载荷放大，再和完美压杆两端被推近时的弹性线比较，最后用测到的力和横向位移估计临界载荷。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

压杆细长，保持弹性。斜率过大、材料屈服或载荷到达 Euler 奇点时，线性预测就停下。完美、不可伸长的弹性线单独计算，它不是带缺陷压杆屈曲之后的解。

物理教程

## 强度、初弯曲与稳定性

**背景** 加载架从两端压一根杆。Lab 把杆的几何形状和稳定性模型联系起来，力和横向位移则另外测量、记录。

**为什么值得理解** 加载、卸载，再控制好几何形状，就能把几种不同的解释区分开。

先抓重点

- **核心问题**: 仅靠强度能阻止屈曲吗？
- **一句话直觉**: 装置画面、读数和能量或稳定性记录，描述的都是同一个物理状态。

### 核心数学模型

#### Euler 载荷

$$
\begin{aligned}I&=\frac{bh^3}{12}\\P_{cr}&=\frac{\pi^2EI}{L^2}\end{aligned}
$$

两端铰支时，压杆按第一阶模态弯成半个正弦波。只有杆足够细长、应力仍在弹性范围内，这个理想化才成立。

#### 初弯曲怎样被放大

$$
\begin{aligned}y_0(s)&=a_0\sin\frac{\pi s}{L}\\y(s)&=\frac{y_0(s)}{1-P/P_{cr}}\end{aligned}
$$

这是小斜率下的线性解，只在临界载荷以下成立，不描述屈曲之后的变形。

#### 偏心受压时的挠度

$$
y_e(s)=e\left[\frac{\cos\!\left(\sqrt{P/EI}(s-L/2)\right)}{\cos\!\left(\sqrt{P/EI}L/2\right)}-1\right]
$$

两端施加相等的偏心力，杆端就有弯矩。这部分正割解的挠度，和正弦初弯曲带来的挠度直接叠加。

#### 完美弹性线的载荷与缩短

$$
\begin{aligned}P&=\frac{4EI\,K(k)^2}{L^2}\\\frac{\Delta}{L}&=2\left(1-\frac{\mathcal E(k)}{K(k)}\right)\end{aligned}
$$

这是两端铰支、不可伸长压杆的第一支屈曲解，用两端被推近的距离来标记。力和形状都由完全椭圆积分给出。

#### 用 Southwell 方法估计临界力

$$
\begin{aligned}v&=y-y_0\\\frac{v}{P}&=\frac{v+a_0\sin(\pi s_p/L)}{P_{cr}}\end{aligned}
$$

在同一个测点，用测到的附加位移和力拟合一条截距可调的直线，斜率的倒数就是临界力的估计。

### 常见难点

#### 模型在哪里失效

**容易误解** 画出来的曲线很平滑，物理上就一定对。

**正确理解** 要看这个状态是否落在模型成立的范围内，还要看采集到的记录。这些教学模型不能为真实试样作担保。

### 动手实验

1. 01

   #### 看微小初弯曲怎样变大

   选“微小初弯曲”，加大压力，看侧视图。

   **你会看到：** 灰线是不受力时的形状。还没到 Euler 载荷，横向偏移就已经在变大。

2. 02

   #### 试试偏心受压

   选“偏心压力”，然后采集一次扫描。

   **你会看到：** 偏心时的曲线照样能测，但不会给出 Southwell 估计，因为这个方法只适用于正弦形初弯曲。

3. 03

   #### 越过模型的适用范围

   选“超过 Euler 力”，或者把杆加厚、缩短。

   **你会看到：** 采集会停下：状态已经碰到 Euler 奇点或材料屈服，或者杆太短太粗，超出了细长杆的范围。

4. 04

   #### 先测量，再和弹性线比较

   在正弦初弯曲下采集一次扫描；再选“缩短控制弹性线”，把积分加密。

   **你会看到：** 对原始数据做回归，得到临界力的估计。弹性线那边，算出的弧长正好回到杆的原长。

物理结论

一个模型解、它成立的范围、从原始数据得到的估计，回答的是三个不同的问题。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)