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title: "二维碰撞桌互动实验｜Sandbox Physics"
description: "二维碰撞里，什么决定散射角？接触法线的方向和恢复系数。法线方向由碰撞参数，也就是偏心距离决定。冲量只沿法线作用：恢复系数决定碰后法向相对速度是多少，没有摩擦时，沿接触面的相对速度保持不变。"
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last_modified: "2026-10-22"
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M033 · 散射 / 矢量动量

# 二维碰撞桌

**二维碰撞里，什么决定散射角？** 接触法线的方向和恢复系数。法线方向由碰撞参数，也就是偏心距离决定。冲量只沿法线作用：恢复系数决定碰后法向相对速度是多少，没有摩擦时，沿接触面的相对速度保持不变。

把圆盘对准气垫桌上静止的目标，拖动碰撞参数，三维视角可以随意旋转。看接触法线、反冲和出射轨迹，验证碰后两个动量箭头加起来等于入射动量。拟合相机轨迹，可以测出法向恢复系数。圆盘停住、恰好擦边、完全错过，三种情况各自给测量带来不同的限制。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

圆盘光滑无摩擦，半径固定，不自转，放在没有边界的气垫桌上。冲量沿两圆心连线，相对切向速度保持不变。斜碰时，法向恢复系数为零并不会让圆盘粘在一起；恰好擦边时不传递冲量。装置镜头跟着圆盘移动，并带米制标尺；轨迹图两个方向用同一比例尺。相机的时间、长度和接触法线都单独标定。

物理教程

## 斜碰撞的几何

**背景** 两个光滑圆盘相碰，冲量沿两圆心的连线传递。动量是矢量，反冲后两个坐标方向的动量都得守恒。

**为什么值得理解** OpenStax《University Physics》第一卷第 9.5 节讨论多维碰撞。在气垫桌上能直接看到法向冲量，还能把相机拟合出的速度和精确的接触解比一比。

先抓重点

- **核心问题**: 为什么斜碰时恢复系数为零，两圆盘仍可能分开运动？
- **一句话直觉**: 恢复系数只管法向的相对速度；接触面光滑，切向的相对运动不变。

### 核心数学模型

#### 法向接近速度与冲量

$$
g_n=(\mathbf u_1-\mathbf u_2)\cdot\mathbf n<0,\qquad J=-\frac{(1+e)g_n}{1/m_1+1/m_2}
$$

接触时，法线从目标圆心指向入射圆盘。两盘正在分开或恰好擦边时，不传递冲量。

#### 二维碰后速度

$$
\mathbf v_1=\mathbf u_1+\frac{J}{m_1}\mathbf n,\qquad\mathbf v_2=\mathbf u_2-\frac{J}{m_2}\mathbf n
$$

冲量大小相等、方向相反，两个方向的动量都守恒。

#### 法向恢复与切向运动

$$
(\mathbf v_1-\mathbf v_2)\cdot\mathbf n=-e\,g_n,\quad(\mathbf v_1-\mathbf v_2)\cdot\mathbf t=(\mathbf u_1-\mathbf u_2)\cdot\mathbf t
$$

恢复系数为零只消除法向的相对运动，并不让圆盘粘在一起。

#### 何时接触，损失多少能量

$$
|\mathbf r_1(t_c)-\mathbf r_2(t_c)|=R_1+R_2,\qquad\Delta K=\frac12\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}(1-e^2)g_n^2
$$

圆盘走直线，接触方程的第一个根就是接触时刻。偏移超过两半径之和就会错过；恰好擦边时没有法向冲量。

### 常见难点

#### 恢复系数为零，不等于粘住

**容易误解** 恢复系数为零，斜碰的两个圆盘就一定会粘在一起。

**正确理解** 只要偏移不为零，切向的相对速度就保持不变，两盘照样分开。

#### 停住的圆盘没有方向

**容易误解** 入射圆盘停住了，散射角就是零。

**正确理解** 等质量弹性正碰后，入射圆盘停住。速度为零就没有方向，实验直接报告它已停止。

#### 接触不一定有冲量

**容易误解** 只要看到两盘碰上，速度就会变。

**正确理解** 恰好擦边时，法向上没有接近速度，也就没有动量传递。

### 动手实验

1. 01

   #### 找到碰撞瞬间

   依次点“碰撞前一刻”“定位碰撞”“碰撞后一刻”，旋转视角，再切到“守恒收支”。

   **你会看到：** 位置连续变化，速度却突然跳变。紫色箭头是碰撞时已经传递的冲量，不是整个回放中一直作用的力。

2. 02

   #### 追踪质心

   把两盘质量设得不同，拖动记录进度，看青色的质心标记。

   **你会看到：** 两盘速度变了，质心速度却不变。动量和能量只统计到光标所在的时刻。

3. 03

   #### 检查动量是否加得起来

   选“斜向弹性碰撞”，点“记录碰撞”。

   **你会看到：** 两条出射动量箭头之和等于原始入射箭头。

4. 04

   #### 改变偏移

   拖动蓝色发射标记，从正偏移拖到负偏移。

   **你会看到：** 偏移一变号，接触法线和偏转方向都跟着翻过来。

5. 05

   #### 只消除法向运动

   偏移不为零时，选“法向恢复系数为零”。

   **你会看到：** 法向不再分离，切向的相对运动还在。

6. 06

   #### 比较几种极端情况

   比较“正碰交换”“恰好擦边”“错过目标”三个预设。

   **你会看到：** 圆盘停住、碰上却没有冲量、根本没碰上，这三种情况的几何含义各不相同。

物理结论

把速率加起来，代替不了动量的矢量相加。接触法线的方向决定冲量、反冲，以及相对运动损失多少能量。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)