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title: "一维碰撞台互动实验｜Sandbox Physics"
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last_modified: "2026-10-22"
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M032 · 动量 / 恢复系数

# 一维碰撞台

**非弹性碰撞保留了什么？** 总动量守恒，动能不守恒。不同惯性系里测到的动量各不相同，但恢复系数和损失的动能在所有惯性系里都一样，因为它们只取决于相对速度。

在无摩擦轨道上释放两辆滑车，三维视角可以随意旋转。比较弹性碰撞时的速度交换、有能量损耗的碰撞和碰后共速三种情形。接触触发器把相机轨迹分成碰前、碰后两段，分别拟合速度。换一个运动的观察者，测到的动量和动能会变，恢复系数和碰撞损失的能量不变。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

滑车当作光滑质点，接触半径固定，只是示意。没有摩擦、自转，也没有外部水平冲量。运动和接触时刻都由解析解求出。相机给每个位置加上独立的高斯噪声，时间和长度都已标定；接触时间另外单独标定。碰前、碰后各至少要有四帧，才显示测量结果。

物理教程

## 两个观察者眼中的同一次碰撞

**背景** 两辆滑车相撞，彼此给对方大小相等、方向相反的冲量。在任何惯性系里总动量都守恒，动能却只在弹性碰撞中守恒。

**为什么值得理解** OpenStax《University Physics》第一卷第 9.4 和 9.5 节讲动量与碰撞。这里再加上已标定的接触触发器和带噪声的相机，恢复系数要从碰前、碰后两段拟合速度中测出来。

先抓重点

- **核心问题**: 移动相机会改变同一次碰撞的耗散能量或恢复系数吗？
- **一句话直觉**: 先拟合速度，再比较碰前、碰后的法向相对速度。两车速度一相减，观察者自己的速度就消掉了。

### 核心数学模型

#### 动量与冲量

$$
m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2,\qquad m_1(v_1-u_1)=-m_2(v_2-u_2)
$$

接触阶段没有外部水平冲量。

#### 由两段速度拟合恢复系数

$$
e=\frac{v_2-v_1}{u_1-u_2},\qquad u_1>u_2
$$

碰前、碰后各至少四帧。接近速度无法分辨时，这个比值不可靠。

#### 碰撞损失的能量

$$
K_{\mathrm{before}}-K_{\mathrm{after}}=\frac12\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}(1-e^2)(u_1-u_2)^2
$$

由两车末速度重新算出能量，再把损失量和这个约化质量公式比较。

#### 改变观察者

$$
v_i'=v_i-U,\quad P'=P-(m_1+m_2)U,\quad K'=K-UP+\frac12(m_1+m_2)U^2
$$

动量守恒，所以碰前减碰后的动能差里，和观察者速度有关的项正好抵消。

### 常见难点

#### 动量不是能量

**容易误解** 动量守恒就意味着动能守恒。

**正确理解** 有能量损失的碰撞里，动量照样守恒，只是部分动能在碰撞中损失掉了。

#### 粘在一起要恢复系数为零

**容易误解** 任何耗散碰撞都会让滑车粘住。

**正确理解** 在这条一维轨道上，只有恢复系数为零，两车碰后才一起运动。

#### 帧数太少，就测不出来

**容易误解** 运动已知，相机就一定能测出来。

**正确理解** 碰前帧数不够时，即使模型能预言碰撞，相机也给不出拟合结果。

### 动手实验

1. 01

   #### 找到碰撞瞬间

   依次点“碰撞前一刻”“定位碰撞”“碰撞后一刻”，旋转视角，再切到“守恒收支”。

   **你会看到：** 位置连续变化，速度却突然跳变。紫色箭头是碰撞时已经传递的冲量，不是整个回放中一直作用的力。

2. 02

   #### 追踪质心

   把两车质量设得不同，拖动记录进度，看青色的质心标记。

   **你会看到：** 两车速度变了，质心速度却不变。动量和能量只统计到光标所在的时刻。

3. 03

   #### 先测再比较

   记录默认碰撞，把测得恢复系数与设置比较。

   **你会看到：** 采样点和拟合速度都带噪声，解析轨迹作为参考。

4. 04

   #### 交换速度，还是共用速度

   比较“等质量交换”和“共同末速度”两个预设。

   **你会看到：** 只有共同末速度情形消除全部轨道相对动能。

5. 05

   #### 移动观察者

   记录之后改观察者速度，光标和相机样本都保持不变。

   **你会看到：** 动量和动能变了，碰撞损失的能量和恢复系数不变。

6. 06

   #### 让测量失败

   试试“相互远离”和“碰前帧数不足”两个预设。

   **你会看到：** 两车不相碰就没有冲量，帧数不够就拟合不出来，实验会分别报告这两种失败。

物理结论

总动量随观察者而变。孤立碰撞损失的动能，以及由相对速度定义的恢复系数，都与观察者无关。

入门路径 · 第 4 / 6 步

## 从一次下落到一条轨道

[下一步 → **弹簧振子与周期标定** 改变质量、劲度系数和释放位移，测量八个周期，找出真正决定周期的量。 建模 · 18 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)