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title: "相干波合成器互动实验｜Sandbox Physics"
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last_modified: "2026-10-27"
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光学 041 · 干涉、相干、光腔与精密测量

# 相干波合成器

**为什么相量图、波前图和探测器读数说的是同一次叠加？** 三者都出自同一组复数场的和。相量图把各个场当箭头首尾相接，波前图把这个和铺在空间里，探测器读到的是合箭头长度的平方。探测器还会在曝光时间内取平均，两个频率稍有不同的波，拍频可能就被平均掉了。

实时的正负电场地形、复数相量多边形和两条探测曲线，都来自同一个确定的平面波求和。组合二到六列波，移动采样点，改变相位和光程，并在有限的曝光窗口里看出拍频。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

各列波都是偏振相同的理想平面波；这不是某台实际干涉仪的模型，也不是随机退相干模型。光学载波的运动只作示意，拍频差和末端的滑动强度平均则是精确的定量结果。按理论峰值归一化，并明确标出；不使用自动曝光，也没有模拟镜面。

物理教程

## 检验相干波合成器的物理过程

**背景** 光叠加的是电场，不是亮度。这里的探测器是标量模型，测的是电场振幅的平方，不算穿过倾斜表面的完整矢量能流。这些理想平面波偏振相同；相量坐标系去掉了光学载波：$S(\mathbf r,t)=\sum_{j=0}^{N-1}A_j e^{i(\mathbf k_j\cdot\mathbf r+\phi_j-2\pi j\Delta\nu t)}$。上方曲面画的是带正负号的电场，不是在动的物质，也不是起伏的镜面。曲面把微米级的距离放大了。只有共同的光学载波换成了标注过的慢速示意旋转，真实的拍频差保持不变。

**为什么值得理解** 为什么相量图、波前图和探测器读数说的是同一次叠加？

先抓重点

- **核心问题**: 为什么相量图、波前图和探测器读数说的是同一次叠加？
- **一句话直觉**: 在白色采样点，两张相量图和瞬时探测强度用的是完全相同的复数和：$I_{\mathrm{inst}}/I_1=|S|^2$。曝光做的是另一件事：它对强度做时间平均，而不是先平均电场再平方。青线是瞬时强度，金色虚线是截至当前时刻的曝光平均。频率有差别时，短曝光能跟上拍频，曝光一个完整拍周期就看不到拍频了。

### 核心数学模型

#### 相位、光程与交叉角

$$
\begin{aligned}\theta_j&=\left(j-\frac{N-1}{2}\right)\alpha,\quad \phi_j=j\Delta\phi+j\lVert\mathbf k_j\rVert\Delta\ell\\\mathbf k_j&=\frac{2\pi(\nu_0+j\Delta\nu)}{c}(\sin\theta_j,\cos\theta_j)\end{aligned}
$$

相邻两束波之间，方向、初相位和频率都按同样的步长变化。规定正的附加光程在参考面上增加相位。半个波长的光程加半周相位，一个整波长后图样复原。所有传播方向在同一平面内，所以这些波确实可以共用一个垂直于该平面的线偏振。

#### 有限曝光下的精确强度

$$
\frac{\overline I_T}{I_1}=\frac1T\int_{t-T}^{t}|S(\mathbf r,\tau)|^2\,d\tau=\sum_j A_j^2+2\sum_{i<j}A_iA_j\operatorname{sinc}(\pi\Delta\nu_{ji}T)\cos\!\left[\psi_{ji}\!\left(t-\frac T2\right)\right]
$$

矩形窗口在显示时刻结束。sinc 是正弦除以自变量，在零处等于一。它的正负号要保留，窗口中点的相位也要保留。曝光设为零时，探测器取连续的瞬时极限。假设零时刻之前场就已稳定存在，所以历史曲线可以包含负时刻。

#### 双波的极大、极小与条纹对比度

$$
\frac{I_{\max,\min}}{I_1}=(1\pm a)^2,\quad V_T=\frac{2a}{1+a^2}\left|\operatorname{sinc}(\pi\Delta\nu T)\right|,\quad f_{\mathrm{beat}}=|\Delta\nu|
$$

这些对比度和拍频公式只适用于两束波。两束等振幅的波能完全相消，振幅不等就不行。可见度指曝光后相位扫描或拍频包络的对比度，不是描述随机光源相干性的参数。波多于两束时，探测器把每一对波都算进去，不套用双波公式。

#### 相量多边形与固定绘图标尺

$$
\sum_{j=0}^{N-1}e^{2\pi i j/N}=0,\quad I_{\mathrm{peak}}/I_1=\left(\sum_j A_j\right)^2,\quad 0\le\overline I_T\le I_{\mathrm{peak}}
$$

在原点，六束振幅相同、相位依次差六十度的波，相量首尾相接，围成一个封闭的多边形。移动采样点会改变空间相位，在别处多边形可能合不拢。曲线的纵轴和地面图都除以标明的理论峰值，不用观测到的最大值；物理读数始终以第一束波单独的强度为单位。

### 常见难点

#### 拍频被隐藏不等于光源退相干

**容易误解** 长曝光曲线变平，就代表波失去了相位关系。

**正确理解** 这里的输入是确定的，完全相干，只有探测器在做平均。曝光一秒、频差一赫兹时，金线停在两束波强度之和上，青色的拍和相量的旋转都照常进行。模型里没有随机相位噪声。

### 动手实验

1. 01

   #### 场景 1：双波条纹

   暂停双波预设。把初相位步进设为 180 度，再调小第二束波的振幅，或者加上半个波长的光程。

   **你会看到：** 只有振幅相等时，原点才完全相消。再加半个波长，相消就被反转；空间条纹整体移动，而不是处处消失。

2. 02

   #### 场景 2：六波相量闭合

   选择六波相量闭合预设。移动共用的采样点，再把相位步进设为零，看多边形怎样拉成一条直线。

   **你会看到：** 无论采样点放在哪里，白色合成端点都和瞬时强度对得上。六束同相的单位振幅波，在原点的强度是第一束单独时的三十六倍。

3. 03

   #### 场景 3：长曝光隐藏拍频

   选择隐藏拍频预设并播放。把曝光从一秒缩短到零。再把频差反过来，比较图样往哪边漂。

   **你会看到：** 曝光正好一个完整拍周期时，金线平在单束强度的两倍。缩短曝光，调制就回来了，光源不用改。

物理结论

先加电场，再取模平方，最后对强度做时间平均。三步各自解释同一个干涉现象的一部分。

## 相关实验与文章

继续探索

### 从波源到相量

哪些变化移动条纹，哪些变化降低对比度？

1. [实验 **双源干涉实验台** 扫描两个球面波源，改变相对相位。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-interference/)
2. [当前页面 **相干波合成器** 合成多束平面波，再考察拍频与曝光平均。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/coherent-wave-composer/)

入门路径 · 第 4 / 6 步

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[下一步 → **Young 双缝实验台** 先加宽缝，再拉开缝距，分清衍射包络和干涉条纹。 比较 · 11 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/young-double-slit-bench/)

1. [1 光学界面探索器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)
2. [2 彩虹焦散观测站](https://sandboxphysics.com/zh/labs/rainbow-laboratory/)
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5. [5 Young 双缝实验台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/young-double-slit-bench/)
6. [6 Michelson 精密测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/michelson-precision-lab/)

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