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title: "双势阱相干转移互动实验｜Sandbox Physics"
description: "不爬过势垒，粒子怎样跑到另一个阱里？靠隧穿。最低两个态的能量被隧穿劈裂开一点，概率就以对应的频率在两个阱之间来回振荡。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/coherent-double-well-transfer/"
last_modified: "2026-10-27"
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Q014 · 制备、耦合、读出

# 双势阱相干转移

**不爬过势垒，粒子怎样跑到另一个阱里？** 靠隧穿。最低两个态的能量被隧穿劈裂开一点，概率就以对应的频率在两个阱之间来回振荡。势垒越高，振荡越慢；阱一倾斜，概率就转不完全。只用两个态来描述，前提是更高的能级没被占据。

抬高中间的势垒，或者让两边倾斜，看概率怎样在两个阱之间转移。试试在不同时刻关闸，重建两侧之间的相对相干，再找出两态近似在哪里失效。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型是一维硬壁盒里的一个孤立粒子。空间 Hamiltonian 在有限正弦基底中演化，另外投影出一个两态模型作比较。每次测量都重新制备。突然升高势垒是一次淬火，可能给系统添加能量。

采样证据与模型检验

模拟独立制备

## 实测转移符合两态近似吗？

蓝点为右侧频率及百分之九十五 Wilson 区间；灰线为空间模型，橙色虚线为未重新归一化的两态投影。下方统计两个相干分析器的结果，包含子空间以外结果。

实测相干与相位

$\text{—}$

模型范数 / 两态外占据

$\text{—}$

初始空间能隙 / 投影能隙

$\text{—}$

基底与边界检验

$\text{—}$

位于正三和负三处的外壁是物理硬壁。作为参考的两个局域态取自无偏置时最低的一对能级，在对侧仍留有少量尾巴。它们的相对相位描述基底之间的相干，不是某一点的相位。突然关闸会激发更高的模；两态投影丢掉这部分振幅，也不重新归一化。

来源：[MIT 8.04 · 11](https://ocw.mit.edu/courses/8-04-quantum-physics-i-spring-2016/a565b327f85c7721b18f1074dbd69ede_MIT8_04S16_LecNotes11.pdf) · [Feynman III · 8](https://www.feynmanlectures.caltech.edu/III_08.html)

物理教程

## 转移是相位敏感的拍频

**背景** 把粒子关进势阱，它能处的空间态就变了。

**为什么值得理解** 一边是你能改的势能，一边是真正能用来估计的记录，这个实验把两者连起来。

先抓重点

- **核心问题**: 两态图像什么时候失效？
- **一句话直觉**: 数值算出的态、模型参考和测量结果，各有各的角色，不能混为一谈。

### 核心数学模型

#### 无量纲单位

$$
X=x/\ell,\quad \mu=m/m_*,\quad \mathcal E=Em_*\ell^2/\hbar^2,\quad \tau=\hbar t/(m_*\ell^2)
$$

先选定参考质量和长度。控件、坐标轴和 CSV 都用这些单位；双势阱的质量比固定为一。

#### 正弦基底近似

$$
u_j(X)=\sqrt{2/L}\sin\!\left[\frac{j\pi(X+L/2)}{L}\right],\quad H_{jk}=\frac{j^2\pi^2}{2\mu L^2}\delta_{jk}+\int u_jVu_k\,dX
$$

保留下来的正弦模全部参与演化，势能矩阵的积分用解析式计算。显示的矩阵残差只检验本征求解器，不反映基底截断或边界带来的误差。

#### 双势阱势能

$$
V(X,\tau)=B(\tau)\mathbf1_{|X|<b/2}+\frac{\epsilon}{2}\operatorname{sgn}X,\quad -3<X<3
$$

外壁无限高，正偏置抬高右侧。关闸协议在选定时刻把势垒突然升到十二。改动控件就会重新制备。

#### 左右两个参考态

$$
|L\rangle=\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt2},\quad |R\rangle=\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt2},\quad |\psi(0)\rangle=\sqrt{1-r}|L\rangle+e^{i\phi}\sqrt r|R\rangle
$$

取无偏置时空间 Hamiltonian 最低的两个本征态，选好符号，让左态主要落在左侧；对侧仍留有一点尾巴。窄波包挑战则改用中心在负 1.7、位置标准差 0.28 的 Gaussian，投影到正弦基底后再归一化。

#### 相干时间演化

$$
|\psi(\tau)\rangle=e^{-iH\tau}|\psi(0)\rangle,\qquad |\psi(\tau>\tau_c)\rangle=e^{-iH_c(\tau-\tau_c)}e^{-iH\tau_c}|\psi(0)\rangle
$$

在保留的基底里，各本征相位精确推进，不做时间步进。淬火瞬间态本身连续，能量却可能因势垒变化做功而改变。模型没有环境，也没有连续测量。

#### 与两态模型比较

$$
H_2=P H P,\quad P=|L\rangle\langle L|+|R\rangle\langle R|,\qquad P_R(\tau)=\tfrac12+[P_R(0)-\tfrac12]\cos[(\mathcal E_1-\mathcal E_0)\tau]
$$

对称、静态势阱里的左局域参考制备，严格满足这个余弦关系。投影模型用的是同一个物理上的左右观测量，丢掉的振幅不重新归一化。偏置、窄初态和势垒突变都会暴露它的局限。

#### 相位敏感测量

$$
|\pm_\theta\rangle=\frac{|L\rangle\pm e^{i\theta}|R\rangle}{\sqrt2},\quad p_+-p_-=2\operatorname{Re}(e^{-i\theta}a_L^*a_R)
$$

实部分析器和虚部分析器分别取零度和九十度，各自用独立的新制备。参考双态以外的部分记为第三种结果，保留在记录里。只靠左右计数，重建不出相干。

### 常见难点

#### 概率云不是轨迹

**容易误解** 一个动画点像经典粒子一样穿墙。

**正确理解** 动画显示的是相干的概率密度；每次记录都来自一个重新制备的态。

#### 多采样修不好模型

**容易误解** 采样噪声是唯一误差来源。

**正确理解** 有限基底、人为边界、没有纳入的探测物理，都要各自检验。

### 动手实验

1. 01

   #### 观察转移

   播放默认制备，采样九个时刻。

   **你会看到：** 把灰色参考线和观测到的频率对比一下。

2. 02

   #### 把概率留在一侧

   尝试高而宽的势垒，再调节关闸时刻。

   **你会看到：** 升高势垒，也不一定能把淬火后的态完全冻住。

3. 03

   #### 读取相位

   在同一时刻采样两个相干分析器。

   **你会看到：** 相干要大到能分辨，才估得出相位。

4. 04

   #### 检验近似

   选择窄波包，比较两条模型曲线。

   **你会看到：** 高能模式可能占去相当大的概率。

物理结论

数值截断和采样误差要分开检验。

量子与场 · 入门路径

## 从一次测量开始

先预测结果，再数一数实际测到了什么。从一个量子比特出发，一路走到波包、束缚态和双光子干涉。

[从这里开始 → **量子态与 Born 测量** 先预测一个概率，转动分析器，再拿预测和多次测量得到的频率比一比。 观察 · 15 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
3. [3 波包传播与不确定性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
4. [4 量子谐振子态工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)
5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/quantum/#starter-path)