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title: "过山车能量设计器互动实验｜Sandbox Physics"
description: "过山车的能量够爬到环顶，还会中途脱离轨道吗？会。能量只决定每一点的速率。"
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last_modified: "2026-10-27"
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M042 · 能量与几何

# 过山车能量设计器

**过山车的能量够爬到环顶，还会中途脱离轨道吗？** 会。能量只决定每一点的速率。要贴着轨道走，轨道还得一直推着车；在环里，车速不够快、弯又太急，这个推力就降到零。假如车的能量刚好够爬到环顶，到顶时速度就是零，实际上它还没到顶就离开轨道了。

把回环设计成圆形或椭圆形，释放一个滑动质点，查看支持力、摩擦生热和终点速度。只要质点还贴着轨道，就能采集它的轨迹；再试试同时满足三项要求的设计挑战。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

质点在单侧轨道上滑动，轨道只能推、不能拉。支持力消失或质点不再前进时，模拟就停止。几段轨道的连接处曲率会跳变，硬件只是示意。

物理教程

## 能量、曲率与单侧支持

**背景** 轨道定下路径的形状，重力提供能量。轨道推得多用力、走完要多久，取决于整条路径。

**为什么值得理解** 你看到的轨道、质点的运动和采集到的读数，全都来自同一组模型量，可以直接对照。

先抓重点

- **核心问题**: 过山车的能量够爬到环顶，还会中途脱离轨道吗？
- **一句话直觉**: 质点贴着轨道时，约束解才成立；一旦脱离，就不能再拿它往后算。

### 核心数学模型

#### 轨道方向、法线与支持力

$$
\begin{aligned}\mathbf t&=\frac{d\mathbf r}{ds}\\\mathbf n&=(-t_y,t_x)\\N/m&=v^2\kappa+g\,t_x\end{aligned}
$$

有符号曲率和左法线直接取自设计好的轨道中心线。支持力为正时，沿左法线方向推。

#### 沿轨道的速度与生热

$$
\begin{aligned}\frac{d(v^2)}{ds}&=-2g\frac{dy}{ds}-2\mu\frac{N}{m}\\\frac{dQ}{ds}&=\mu N\end{aligned}
$$

只有支持力为正时才有动摩擦。速度平方和热量分开积分。

#### 能量守恒

$$
\frac12mv^2+mgy+Q=\frac12mv_0^2+mgH
$$

保持接触时，法向支持力不做功。另外积分出的摩擦热补上差额，两边正好相等。

#### 圆形回环的接触条件

$$
\begin{aligned}N_{top}/m&=v_{top}^2/R-g\\v_{bottom}^2&\ge5gR\end{aligned}
$$

在无摩擦的圆形回环上，要在顶部保持接触，需要的能量比刚好到达顶部更多。

#### 用原始记录估计重力

$$
v_i^2=\alpha-2g\,y_i
$$

用采集到的高度和速度拟合一条直线，截距和斜率都自由取值。有摩擦时这个推断不成立，Lab 会把它关掉。

### 常见难点

#### 理想化的小球

**容易误解** 屏幕上的球会滚动，有悬架，跟真过山车的硬件一样。

**正确理解** 这是滑动质点模型，轨道和小珠画出来的粗细只是示意。

### 动手实验

1. 01

   #### 区分能量和接触

   对比完成圆形回环、理想接触阈值和能量够而接触失效三个预设。

   **你会看到：** 蓝色有效路径在轨道推不动质点的地方结束。

2. 02

   #### 设计回环

   调整回环两个方向的半径、摩擦、载荷上限和要求的终点速度。

   **你会看到：** 只满足能量要求，过不了三项挑战。

3. 03

   #### 采集有效的那段轨迹

   采集轨迹，展开原始记录，再导出 CSV。

   **你会看到：** 质点脱离轨道或停住以后，不会再生成传感器记录。

4. 04

   #### 检查数值精度

   把积分区间加倍，比较细化后的时间差和单独积分出的摩擦热。

   **你会看到：** 时间差反映步长细化后结果变了多少，不是严格的误差界。

物理结论

光看能量够不够还不行，还要看轨道是否一直推得到质点。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)