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title: "宇宙微波背景天空与角功率谱互动实验｜Sandbox Physics"
description: "望远镜波束变宽时，天空的小斑块为什么先被抹平？宽波束把相邻方向的温度混在一起。小的冷热斑块在波束内互相抵消，角功率很快下降；大斑块在同样范围内变化较小，能保留更多温差。"
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last_modified: "2026-10-24"
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F-X1b · 波束越宽，小斑块越先消失

# 宇宙微波背景天空与角功率谱

**望远镜波束变宽时，天空的小斑块为什么先被抹平？** 宽波束把相邻方向的温度混在一起。小的冷热斑块在波束内互相抵消，角功率很快下降；大斑块在同样范围内变化较小，能保留更多温差。

在合成全天温度图上拖动接收机波束。把波束调宽，比较剩下的斑块与从同一片天空算出的角功率谱。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

合成全天图由二阶至十二阶实正交球谐函数组成。固定种子的独立高斯系数服从预设教学功率谱，小尺度倍数改变七阶至十二阶。平均温度与偶极项已去除。理想圆对称高斯波束按球谐窗函数衰减每个系数，原始与平滑功率谱都由这些系数计算。Hammer 投影显示时采用经纬网格的双线性插值，读数则直接由系数精确求得。这些大斑块用于讲波束平滑，不代表实测微波背景声学峰，也不推断宇宙学参数。不考虑仪器噪声、前景、天空遮罩、偏振或宇宙演化。波束圆是局部示意；在图心附近，圆半径代表波束宽度的一半。

合成模型数据

## 大斑块与小斑块的功率

蓝色虚线为原始合成天空，青色为同一组系数经过波束平滑后的功率。每个点对应一个球谐阶数；阶数越高，斑块越小。

$\ell,\qquad D_\ell=\frac{\ell(\ell+1)}{2\pi}C_\ell\;[\mathrm{\mu K}^2]$

来源与定义

功率采用正交归一球谐函数的定义，波束采用理想圆对称高斯模型。有限阶球谐天空用于教学，两条功率谱都直接由系数计算。 [HEALPix conventions](https://healpix.sourceforge.io/doc/html/intro_HEALPix_conventions.htm) · [Gaussian beam](https://healpix.sourceforge.io/html/sub_gaussbeam.htm)

[读读这些模型背后的发现 →](https://sandboxphysics.com/zh/stories/astronomy-gravity/)

物理教程

## 宇宙微波背景天空与角功率谱

**背景** 望远镜波束会把一小片天空的光混在一起。角功率谱把温差按斑块大小分开，告诉我们哪些尺度变化强。球谐阶数越高，描述的斑块越小。

**为什么值得理解** 天空看起来平滑，可能是原本就少了小斑块，也可能是接收机把它们抹平了。保持天空不变，只改波束，就能看清后一种效应。

先抓重点

- **核心问题**: 望远镜波束变宽时，天空的小斑块为什么先被抹平？
- **一句话直觉**: 波束宽度会改变测到的天空，小尺度温差损失最快。

### 核心数学模型

#### 用同一组模式拼出温度图

$$
\Delta T(\hat n)=\sum_{\ell=2}^{12}\sum_{m=-\ell}^{\ell}a_{\ell m}Y_{\ell m}(\hat n)
$$

每个球谐函数都是铺在整个球面上的一种图案，实系数决定它有多强，单位为微开尔文。教学天空去掉了平均温度与偶极项。

#### 每个阶数上的功率

$$
C_\ell=\frac{1}{2\ell+1}\sum_{m=-\ell}^{\ell}|a_{\ell m}|^2
$$

同一阶数的系数平方取平均，就得到该阶功率。图中还乘上阶数与阶数加一，再除以两倍圆周率，方便比较。

#### 圆对称高斯波束

$$
b_\ell=e^{-\ell(\ell+1)\sigma_b^2/2},\qquad C_\ell^{\rm beam}=b_\ell^2C_\ell,\qquad\sigma_b=\frac{\theta_{\rm FWHM}}{\sqrt{8\ln2}}
$$

波束宽度要用弧度。平滑让每个球谐系数乘上波束窗函数，功率便乘上窗函数的平方。

### 常见难点

#### 怎样解释测量结果

**容易误解** 高阶功率很低，就说明原始天空里没有多少小斑块。

**正确理解** 接收机波束太宽，也会压低这些功率。解释观测功率谱时，需要同时知道波束响应。

### 动手实验

1. 01

   #### 比较两种天空视图

   选“清晰天空”，切换“波束看到的天空”和“原始天空”。

   **你会看到：** 波束宽度为零时，两幅图与两条功率曲线重合。

2. 02

   #### 把波束调宽

   选“宽波束”，在同一色标下切换天空视图。

   **你会看到：** 小的冷热斑块一起变淡。青色曲线的高阶端下降最明显。

3. 03

   #### 给天空增加小斑块

   选“小斑块”，再缓慢增加“波束宽度”。

   **你会看到：** 原始天空在七阶至十二阶有更多功率，接收机波束又抹去了其中不少细节。

4. 04

   #### 换一次随机实现

   点“换一片天空”，同时看天空图和功率曲线。

   **你会看到：** 新的随机系数改变斑块的位置和实际功率，两处显示都由这同一片新天空更新。

物理结论

波束宽度会改变测到的天空，小尺度温差损失最快。

波与光学 · 入门路径

## 从一条光线到干涉测量

从折射出发，找到光线模型失效的地方，再用干涉测量极小的距离。

[从这里开始 → **光学界面探索器** 转动入射角，观察反射与透射功率此消彼长；再切换到“临界角与全反射”场景。 观察 · 11 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)

1. [1 光学界面探索器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)
2. [2 彩虹焦散观测站](https://sandboxphysics.com/zh/labs/rainbow-laboratory/)
3. [3 针孔相机](https://sandboxphysics.com/zh/labs/camera-obscura/)
4. [4 相干波合成器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/coherent-wave-composer/)
5. [5 Young 双缝实验台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/young-double-slit-bench/)
6. [6 Michelson 精密测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/michelson-precision-lab/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/waves-and-optics/#starter-path)