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title: "Chladni 薄板共振互动实验｜Sandbox Physics"
description: "在共振里，找到安静的线。 把驱动放在节点上，共振模态还能安静吗？"
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last_modified: "2026-10-18"
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M066 · 受驱弯曲薄板

# Chladni 薄板共振

在三维薄板上移动点激振器，调谐共振、拉长矩形以拆开简并模态，再把驱动移到节点上，让一个振型安静下来。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

四边简支的各向同性 Kirchhoff–Love 薄板，保留二十五个弯曲模态并指定模态阻尼。振幅图是计算的位移，不是沙粒迁移；自由边与夹紧边需要其他振型。

物理教程

## 弯曲带来不同的频谱

**背景** 薄固体板抵抗曲率变化，弯曲刚度、厚度与边界条件共同决定固有振动。

**为什么值得理解** 把运动表面、安静的线与定量频率记录连在一起。

先抓重点

- **核心问题**: 即使频率共振，把激振器放在节点上还能让该模态安静吗？
- **一句话直觉**: 共振既需要频率匹配，也需要空间耦合；节点处的驱动对该模态耦合为零。

### 核心数学模型

#### 指定参数

$$
E=70\,\mathrm{GPa},\quad\nu=0.33,\quad\rho=2700\,\mathrm{kg/m^3},\quad F_0=0.2\,\mathrm{mN}
$$

均匀材料参数是教学假定；微小驱动力让线性薄板保持在小挠度范围。

#### 弯曲方程

$$
D\nabla^4w+\rho h\,\ddot w=p,\qquad D=\frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}
$$

采用均匀厚度、各向同性线弹性的 Kirchhoff–Love 理论；规定的模态阻尼在投影后加入。

#### 四边简支矩形

$$
\phi_{mn}=\sin\frac{m\pi x}{a}\sin\frac{n\pi y}{b},\quad \omega_{mn}=\pi^2\sqrt{\frac{D}{\rho h}}\left(\frac{m^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2}\right)
$$

正整数序号从一开始；边缘位移与法向弯矩为零，但斜率没有被夹紧。

#### 复数模态响应

$$
Q_{mn}=\frac{F_0\phi_{mn}(x_d,y_d)}{M_{mn}(\omega_{mn}^2-\Omega^2+2i\zeta\omega_{mn}\Omega)},\quad M_{mn}=\frac{\rho hab}{4}
$$

显示位移是模态总和乘驱动复相位后的实部；全部保留模态都参与。

#### 独立的功率账本

$$
\overline P_{\rm in}=-\frac{F_0\Omega}{2}\sum_{mn}\phi_{mn}(x_d,y_d)\operatorname{Im}Q_{mn}=\sum_{mn}\zeta M_{mn}\omega_{mn}\Omega^2|Q_{mn}|^2
$$

稳态平均输入功率等于平均黏性耗散，不表示瞬时机械能恒定。

### 常见难点

#### 振幅图不是沙粒

**容易误解** 每条浅色线都预测实测沙粒花纹。

**正确理解** 这张图来自线性模型的均方根位移，沙粒运动、摩擦、空气与真实支撑柔度都不在模型中。

### 动手实验

1. 01

   #### 把驱动放到节点

   比较“四瓣共振”和“在节点激振”，保持所选频率不变。

   **应该观察到：** 所选模态受到抑制，其他偏离共振的模态仍可能运动。

2. 02

   #### 拆开相同频率

   先试“简并振型”，再试“打破对称”。改变长宽比后，调谐至所选模态。

   **应该观察到：** 互换序号的两个模态在正方形上同频，在矩形上分开。

3. 03

   #### 区分物理与显示

   把厚度加倍，再只改变高度显示增益。

   **应该观察到：** 厚度加倍使固有频率加倍，显示增益不改变物理轨迹与功率。

物理结论

正方形可让不同振型拥有相同频率。改变长宽比会拆开它们，激振位置则选择它们的混合。

一手资料：[NASA SP-160 · Vibration of Plates](https://ntrs.nasa.gov/citations/19700009156) [Experimental simply supported plates](https://doi.org/10.1016/j.mex.2019.09.023)

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)