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title: "Chaplygin 刀刃滑橇互动实验｜Sandbox Physics"
description: "转向渐停，能量却留下。 转向能在没有耗能时逐渐停止吗？"
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last_modified: "2026-10-18"
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非完整约束力学 · 自由运动

# Chaplygin 刀刃滑橇

释放三维刀刃滑橇。移动质心、反向发射，或把质心放在刀刃正上方；比较受约束的弯曲轨迹与自由滑动质心的直线路径。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

平面理想刚体，只有一个刀刃横向约束。不含阻力、刀刃摩擦耗散、离地或倾覆。质量与惯量独立指定，底盘外形为示意。

物理教程

## 约束可以改向而不耗能

**背景** 刀刃允许沿自身方向运动，禁止横移。横向约束力与刀刃速度垂直，因此不做功。

**为什么值得理解** 把可见的接触规则、完整轨迹与定量记录联系起来。

先抓重点

- **核心问题**: 转向逐渐消失，为什么机械能没有损失？
- **一句话直觉**: 横向约束在平动与转动之间交换能量。质心偏置时，稳定方向是质心在前、刀刃拖后。

### 核心数学模型

#### 刀刃速度与刚体动力学

$$
\dot x=u\cos\theta,\quad\dot y=u\sin\theta,\quad\dot\theta=\omega,\qquad\dot u=a\omega^2,\quad\dot\omega=-\frac{a u\omega}{k^2+a^2}
$$

坐标指刀刃接触位置，并非质心。正偏置沿刀刃向前；质心惯量等于质量乘回转半径的平方。

#### 能量与约束力

$$
E=\frac m2\left[u^2+(k^2+a^2)\omega^2\right],\quad N=\frac{m k^2 u\omega}{k^2+a^2},\quad P_N=Nv_{P,\perp}=0
$$

质心可以有横向速度，刀刃却没有。约束力可以非零，同时保持不做功。

### 常见难点

#### 接触约束限制速度

**容易误解** 控制复原或转向减弱，一定会撤销运动或消耗能量。

**正确理解** 检查能量总量保持固定、两部分相互交换；约束力不做功。

### 动手实验

1. 01

   #### 实验 1

   向后释放，观察前向速度反号而能量保持不变。

   **应该观察到：** 比较同步轨迹与数值读数。

2. 02

   #### 实验 2

   选择质心位于刀刃，再反向质心偏置；比较圆周与趋直轨迹。

   **应该观察到：** 比较同步轨迹与数值读数。

3. 03

   #### 实验 3

   在最大初始角速度下比较标准与精细积分。

   **应该观察到：** 比较同步轨迹与数值读数。

物理结论

把质心放在刀刃上方，横向约束力不再产生转向力矩，圆周运动可以持续。

一手理论资料：[Simoes & Colombo · rolling disk](https://arxiv.org/abs/2303.17920) · [Chang & Perlmutter · Chaplygin sleigh](https://arxiv.org/abs/1811.03757)

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)