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title: "混沌台球竞技场互动实验｜Sandbox Physics"
description: "仅凭几何就能产生混沌吗？能。每张台子在边上都遵守同一条规则：入射角等于反射角，不损失能量。圆形、椭圆形台子上，反弹始终有规律；换成体育场形，或在中间放一个圆形障碍，两条几乎一样的球路很快就分道扬镳。变的只是边界形状。"
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last_modified: "2026-10-22"
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M087 · 几何 / 碰撞映射

# 混沌台球竞技场

**仅凭几何就能产生混沌吗？** 能。每张台子在边上都遵守同一条规则：入射角等于反射角，不损失能量。圆形、椭圆形台子上，反弹始终有规律；换成体育场形，或在中间放一个圆形障碍，两条几乎一样的球路很快就分道扬镳。变的只是边界形状。

把两条挨得很近的射线射进圆、椭圆、体育场形，或中间放一个圆盘的正方形，每张台面都按同一条弹性反射定律反弹。比较精确算出的碰撞点、可积台面的焦散线、边界截面和微小间距的增长，分辨哪些是规则弹跳，哪些轨道对起点很敏感。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

小球是理想质点，以单位速率运动，碰到固定的解析边界时像镜子一样无摩擦地反射。Sinai 台面是正方形里放一个圆形散射盘，小球可以沿空旷的通道飞很远。正好打在角点或几乎擦边时，后续运动没有可靠的光滑延续，受影响的记录就此停止。有限时间内测到的切向增长只是诊断，证明不了运动是遍历的。

物理教程

## 几何组织保守运动

**背景** 数学台球里，小球走直线，碰壁时弹性反射。只记下每次撞墙的位置和沿墙的速度，运动就变成从一次碰撞到下一次碰撞的映射。

**为什么值得理解** 反射定律不变，只改台面形状，轨道的稳定性就可能改变。

先抓重点

- **核心问题**: 仅凭几何就能产生混沌吗？
- **一句话直觉**: 守恒量、微小偏差的增长、有限次碰撞画出的图，各自回答不同的问题。

### 核心数学模型

#### 相同反射律，不同动力学

$$
\mathbf v_{+}=\mathbf v_{-}-2(\mathbf v_{-}\cdot\mathbf n)\mathbf n,\qquad |\mathbf v_{+}|=|\mathbf v_{-}|
$$

每段直线飞行都在第一次碰到有效边界的地方结束，交点用解析方法求出。法向量朝哪一侧都行，反射结果一样。打在角点和擦边而过是奇异情形。

#### 保持面积的碰撞坐标

$$
q=\frac{s}{\mathcal P},\qquad p=\mathbf v\cdot\mathbf t,\qquad T^{*}(dq\wedge dp)=dq\wedge dp
$$

沿边界走时，台面内部始终在左手边：外壁逆时针，障碍物顺时针。各段边界的弧长首尾接起来，再除以总周长。椭圆的弧长用高阶数值积分求出，不把极角当作正则坐标。

#### 圆形台面的焦散固定不变

$$
L=xv_y-yv_x,\qquad r_{\rm caustic}=|L|
$$

在单位半径的圆里，角动量保持不变，每根弦都与同一个同心圆相切，这个圆就是焦散。三角形轨道周而复始；每次转过的角度若是一圈的无理数倍，截面上的点会铺满一条线。弦线再密、图像再复杂，也不代表混沌。

#### 共焦椭圆与双曲线

$$
\lambda=b^2v_x^2+a^2v_y^2-(xv_y-yv_x)^2,\qquad \frac{x^2}{a^2-\lambda}+\frac{y^2}{b^2-\lambda}=1
$$

短半轴取为一。不变量的取值决定焦散是椭圆还是双曲线，穿过焦点的分界轨道是两者之间的退化情形。焦散由解析公式预言，第四张图则沿算出的碰撞检查不变量是否保持。

#### 邻近射线和切向量测的不是一回事

$$
\lambda_N=\frac1N\sum_{j=0}^{N-1}\log\|DT(z_j)\widehat{\delta z}_j\|,\qquad \widehat{\delta z}_{j+1}=\frac{DT(z_j)\widehat{\delta z}_j}{\|DT(z_j)\widehat{\delta z}_j\|}
$$

切向量一开始沿边界位置方向，每次碰撞后都重新缩放到单位长度。邻近射线是另一条隔着有限距离的轨道，从不重置，间距可能饱和。增长率按每次碰撞计，不按物理时间计。距离由边界坐标上的最短间隔和切向速度之差组成。

#### 用数值方法检查光滑局部映射

$$
\det DT\approx1,\qquad D_hT(z)=\frac{T(z+h\mathbf e_i)-T(z-h\mathbf e_i)}{2h}
$$

显示的行列式用中心差分求出，坐标在该点附近展开。把差分步长减半后结果变了多少，只是数值证据，不是严格的误差界。邻近点撞上另一段边界，或跨过曲率突变的接缝时，就不再计算导数。有限次碰撞得到的正增长率，证明不了整个台面是遍历的。

### 常见难点

#### 复杂不等于混沌

**容易误解** 在圆里把台面画得密密麻麻的轨道，一定是混沌的。

**正确理解** 它的焦散不变，截面上的点落在一条线上，说明运动是规则的。

#### 碰撞坐标要选对

**容易误解** 随便取一个均匀的角度参数，截面面积都会保持。

**正确理解** 要用真实弧长和单位速率下的切向速度分量。椭圆的极角并不对应弧长。

#### 碰撞数不是时间

**容易误解** 两条路径是在同一时刻比较的。

**正确理解** 按碰撞编号配对，两条轨道的飞行时长各自不同。

#### 角点没有确定的反弹

**容易误解** 碰到角点时，程序随便给个反弹方向就行。

**正确理解** 角点处的法向不唯一，模拟会停下，需要换一个初态。切向检查也可能比主轨道更早停下。

### 动手实验

1. 01

   #### 从三角形开始

   选“周期三角形”，再点“回看完整记录”。

   **你会看到：** 同样三个碰撞点反复出现，圆形焦散不动。

2. 02

   #### 在两类共焦焦散间切换

   比较“椭圆焦散”和“双曲焦散”两个预设。

   **你会看到：** 两类焦散对应的运动都可积，不变量只漂移一点点。

3. 03

   #### 只改形状

   比较“体育场敏感性”和“平行壁弹跳”。

   **你会看到：** 同一张体育场台面上，有少数例外的规则轨道，典型轨道却对起点很敏感。

4. 04

   #### 看诊断方法在哪里失效

   试试“Sinai 散射盘”，改变扰动，点“记录长度翻倍”，最后选“未定义角点发射”。

   **你会看到：** 邻近射线的间距会饱和，切向量还能继续增长；角点发射的碰撞没有定义，始终停着。

物理结论

把解析不变量、边界截面和增长率放在一起看，也要记住每种方法看不到什么。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)