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title: "CBED：厚度与晶体对称性互动实验｜Sandbox Physics"
description: "会聚束衍射盘内的强度能告诉我们哪些晶体信息？会聚束从许多方向试探电子波在晶体中的传播。"
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last_modified: "2026-10-27"
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E29 · 会聚束电子衍射

# CBED：厚度与晶体对称性

**会聚束衍射盘内的强度能告诉我们哪些晶体信息？** 会聚束从许多方向试探电子波在晶体中的传播。双束条纹能帮助分开厚度和倾斜；高阶反射还随晶格应变移动。在给定结构候选和独立标定下，多束散射的强度差异可以用来比较极性取向。

先用双束条纹测厚度，再比较中心对称与极性参考晶体的高阶衍射线。改变晶格应变，看线条如何移动；减少计数，看晶体类别何时难以分清。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

相机对应两种独立的教学模型。双束模型的倒易矢量为每纳米 2.5，消光距离为 80 纳米。高阶模式在虚构晶体中传播十三束弹性波；晶胞为 0.4、0.4、6 纳米，散射因子采用指定的高斯函数。三种有取向的参考晶体，未受应变时属于 4/mmm 或 4mm 点群，水平应变会降低对称性。拟合固定独立标定的厚度和倾斜，在有限候选中估计应变，比较中心对称结构及两种极性取向。标定不准、未知结构、吸收或遗漏反射都可能让比较失效，不能据此完成一般晶体的点群判定。照射面积固定为 100 平方纳米，每个入射角单元分得相等曝光，不计算探针光学。衍射盘互不重叠，完整视场由同一组存储单元重采样显示。角度和薄片厚度经过示意放大。

物理教程

## CBED：厚度与晶体对称性

**背景** 会聚束在一次曝光中同时试探许多入射方向。衍射盘内部的强度分布既受厚度影响，也包含三维晶体结构的信息。

**为什么值得理解** 厚度和倾斜都会改变衍射盘里的强度分布。要测厚度，就得把两者分开。

先抓重点

- **核心问题**: 会聚束衍射盘内的强度能告诉我们哪些晶体信息？
- **一句话直觉**: 衍射盘覆盖的角度越宽，盘内结构越多，越容易分清原本难以区分的几个厚度。

### 核心数学模型

#### 弹性耦合与高阶反射激发

$$
\begin{aligned}i\,\partial_z\psi_g&=\sum_h H_{gh}\psi_h\\H_{gg}&=2\pi s_g\\s_g&=g_x\theta_x+g_y\theta_y+g_z\\&\quad+\tfrac{\lambda}{2}|\mathbf g|^2\end{aligned}
$$

厄米耦合矩阵保证保留的十三束波之间弹性概率守恒。高阶反射具有非零纵向倒易分量。应变改变倒易晶格，盘内角度分布和相机几何都采用这组倒易矢量。

#### 双束模型的衍射强度

$$
\begin{aligned}\omega&=s_g\xi_g\\I_g&=\frac{\sin^2\!\left[\frac{\pi t}{\xi_g}\sqrt{1+\omega^2}\right]}{1+\omega^2}\end{aligned}
$$

没有吸收时，透射波和衍射波随厚度来回交换强度。透射比例等于一减去这个强度。

#### 衍射盘角度与激发误差

$$
\begin{aligned}s_g&=g(\beta+\alpha_x)\\R&=L\alpha\\d&=L\lambda g\end{aligned}
$$

倾斜从所选的布拉格条件算起，式中角度用弧度。相机上的位置按有效相机长度换算。

#### 记录计数的似然

$$
\begin{aligned}\ell_j&=C_{g,j}\ln I_{g,j}\\&\quad+C_{0,j}\ln(1-I_{g,j})\\\mathcal L&=-\sum_j\ell_j\end{aligned}
$$

只拟合测到的两路配对计数。在每个厚度上把倾斜剖面化，就能看出和最佳解竞争的其他极小值。

### 常见难点

#### 模型的局限

**容易误解** 任务过关，就等于从实验中解出了真实结构。

**正确理解** 相机对应两种独立的教学模型。双束模型的倒易矢量为每纳米 2.5，消光距离为 80 纳米。高阶模式在虚构晶体中传播十三束弹性波；晶胞为 0.4、0.4、6 纳米，散射因子采用指定的高斯函数。三种有取向的参考晶体，未受应变时属于 4/mmm 或 4mm 点群，水平应变会降低对称性。拟合固定独立标定的厚度和倾斜，在有限候选中估计应变，比较中心对称结构及两种极性取向。标定不准、未知结构、吸收或遗漏反射都可能让比较失效，不能据此完成一般晶体的点群判定。照射面积固定为 100 平方纳米，每个入射角单元分得相等曝光，不计算探针光学。衍射盘互不重叠，完整视场由同一组存储单元重采样显示。角度和薄片厚度经过示意放大。

### 动手实验

1. 01

   #### 比较对称性与极性

   依次选择正向极性、反向极性和中心对称预设，展开似然图，比较各类晶体的应变曲线。

   **你会看到：** 多次弹性散射让有取向的参考晶体呈现不同的角度强度。判断只使用存储计数和独立标定。

2. 02

   #### 让高阶线移动

   改变水平晶格应变，重新采集并拟合，比较透射盘和一阶高阶劳厄区盘。

   **你会看到：** 晶格变化会移动倒易矢量，改变反射的激发条件。估计只在三类参考晶体和间隔为半个百分点的应变网格中选择。

3. 03

   #### 看清何时不能判断

   选择低计数预设，或让薄片厚度偏离独立标定，再采集、拟合一次。

   **你会看到：** 候选差距小时无法判定类别。每单元泊松偏差过大时，即使某个候选胜出，也要拒绝整组解释。阈值只是教学判据，不是置信区间。

4. 04

   #### 预测衍射盘里的图样

   先选择双束测厚预设，再设定薄片厚度、会聚角和倾斜，预测宽盘能否分开竞争的厚度。

   **你会看到：** 总剂量固定时，角度信息变多了，电子数却不会增加。

5. 05

   #### 采集两个衍射盘

   记录两个通道，再改动一个采集滑块。

   **你会看到：** 重新采集之前，相机存下的计数不会变。

6. 06

   #### 拟合，看有没有第二个解

   拟合厚度和倾斜，把测得的摇摆曲线和拟合曲线对比，再看剖面化后的损失曲线。

   **你会看到：** 衍射盘窄的时候，另一个相隔较远的极小值可能拟合得几乎一样好。

7. 07

   #### 试一个困难情形

   比较窄衍射盘和低计数两个已完成的示例，再对照目标。

   **你会看到：** 似然极小值之间的差距只是教学上的判据，不是标定过的置信区间。

物理结论

双束拟合估计厚度和倾斜，高阶比较则固定独立标定的厚度和倾斜。两种结果都要一起检查竞争解。

场、流体与物质 · 入门路径

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先看懂电场、学会操控带电粒子，再算出电子的波长，用电子束观察晶体和表面。

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