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title: "Casimir 力振子：来自真空的迟滞互动实验｜Sandbox Physics"
description: "Casimir 力怎样让一个微小振子拥有记忆？因为平板摆得越近，受到的吸引就越强。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/casimir-torsional-oscillator/"
last_modified: "2026-10-30"
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FR32 · Casimir–Lifshitz 力

# Casimir 力振子：来自真空的迟滞

**Casimir 力怎样让一个微小振子拥有记忆？** 因为平板摆得越近，受到的吸引就越强。金球靠近摆动的平板时会软化它的弹簧、降低共振频率；力随间隙缩小急剧增大，大摆幅感受到的弹簧比小摆幅更软。共振曲线随之倾倒，直到同一驱动频率下有两种稳定摆幅。按 2001 年贝尔实验室装置的模型，间隙 97 纳米时摆幅约为 7 或 35 纳米，取决于金球是靠近而来还是退离而来。

把金球移向摆动的平板，看 Casimir 力把共振频率往下拉，直到两种不同的摆幅都能稳定存在。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

装置依照 Chan 等人（2001）：扭转平板的共振频率为 2753.47 Hz，品质因数 7150；半径 100 µm 的镀金球位于 131 µm 的力臂处。球–板力取 Lifshitz 板–板能量乘以邻近力近似因子，金可选 Drude 金属、无损等离子体金属或理想镜面。振子服从 Chan 等人的式 1 与式 5，保留力的导数到三阶。忽略表面粗糙度、接触电势斑和残余静电力，因此这些数值不是对实测数据的拟合。

当前间隙的共振曲线

扫描间隙时的摆幅

三种镜面模型的共振频移

更多数值与计算方法

- **力梯度**: $0$
- **板–板力与理想镜面之比**: $0$
- **板–板能量与理想镜面之比**: $0$
- **式 5 的非线性系数**: $0$
- **仅用式 2 得到的频移**: $0$
- **该驱动下的稳态摆幅数**: $0$

Lifshitz 积分在虚频率与波矢上用 Gauss–Legendre 求积完成。力的二阶与三阶导数由板压强的五点差分得到，步长为间隙的 1%。迟滞轨迹以 0.25 nm 步长改变间隙，并保留与上一摆幅最接近的根。模型版本 fr32-casimir-oscillator-v1。

物理教程

## 让振子拥有记忆的真空力

**背景** 两块不带电的金属表面相距不到一微米时会相互吸引。在小间隙中输运热量的那些场涨落同样携带动量，其净效果就是 Casimir–Lifshitz 力。在 100 nm 处，金球与金平板之间的这个力只有一百多皮牛，人完全感觉不到，却足以改变一根微小弹簧的振动方式。

**为什么值得理解** 贝尔实验室的 Chan 等人做了一块镀金多晶硅平板，它靠两根扭杆摆动，并把一个镀金小球移近它的一侧。Casimir 力先让共振频率偏移，再让共振曲线弯曲，最后让振子出现双稳态：摆幅取决于小球是在靠近还是在远离。

先抓重点

- **核心问题**: Casimir 力怎样让一个微小振子拥有记忆？
- **一句话直觉**: 力梯度软化了扭转弹簧，把共振频率往下拉。由于间隙缩小时力急剧增大，大摆幅感受到的弹簧比小摆幅更软，共振曲线因此向低频倾斜。倾斜到一定程度后，同一个驱动频率会与曲线相交三次，其中两个摆幅是稳定的。

### 核心数学模型

#### 球与平板之间的力

$$
F(z)=2\pi R\,\eta_E(z)\,E_{\mathrm{pp}}(z),\qquad E_{\mathrm{pp}}(z)=-\frac{\pi^{2}\hbar c}{720\,z^{3}}
$$

邻近力近似把半径为 $R$ 的球看成一叠平板对，在 $z\ll R$ 时成立。$E_{\mathrm{pp}}$ 是两块理想镜面单位面积的能量，$\eta_E\le1$ 是真实金的 Lifshitz 修正因子，Lambrecht 与 Reynaud（2000）给出了它的数值表。

#### 力梯度引起的共振频移

$$
\omega_1=\sqrt{\omega_0^{2}-\frac{b^{2}F'(z)}{I}}\approx\omega_0\left[1-\frac{b^{2}F'(z)}{2I\omega_0^{2}}\right]
$$

取 $b=131\,\mu\mathrm{m}$、$I=7.1\times10^{-17}\,\mathrm{kg\,m^{2}}$，对 Drude 金，141 nm 处频移约 −1.2 Hz，98 nm 处约 −4.3 Hz。近似形式即 Chan 等人（2001）的式 2。当 $b^{2}F'$ 达到 $I\omega_0^{2}$ 时，弹簧再也拉不住平板，平板会吸附到球上。

#### 弯曲共振的振幅

$$
A^{2}\left[(\omega-\omega_1-\kappa A^{2})^{2}+\lambda^{2}\right]=\frac{\tau^{2}}{4I^{2}\omega_1^{2}},\qquad \kappa=\frac{3\beta}{8\omega_1}-\frac{5\alpha^{2}}{12\omega_1^{3}}
$$

这是 Chan 等人的式 5。其中 $\alpha=b^{3}F''/2I$、$\beta=-b^{4}F'''/6I$ 来自力的二阶和三阶导数，$\lambda$ 是阻尼率。关于 $A^{2}$ 的三次方程最多有三个正根，记忆正是由此而来。

### 常见难点

#### Casimir 力需要理想镜面

**容易误解** 真实金属感受不到 Casimir 力，它只是一种理想化。

**正确理解** 真实的金反射得不完美，所以力更小；在这个模型里，100 nm 附近约为理想镜面值的一半。但物理是同一个，实验测到的正是它。

#### 迟滞意味着摩擦

**容易误解** 摆幅依赖历史，是因为金球拖拽了平板。

**正确理解** 模型里没有额外的摩擦。记忆来自保守力的非线性：两种稳定摆幅都能与同一驱动平衡，振子停留在先到达的那一个上。

### 动手实验

1. 01

   #### 先让金球远离

   选择“金球在远处”，看共振曲线图。

   **你会看到：** 3.3 µm 时曲线是位于 2753.47 Hz 的对称峰，摆幅 39 nm，和任何弱阻尼振子一样。

2. 02

   #### 先预测，再移近

   先猜峰向哪边移动，再选择“共振被拉低”。

   **你会看到：** 141 nm 时峰低了约 1.2 Hz，并向低频倾斜。

3. 03

   #### 解释记忆

   在固定的 2748 Hz 下运行“迟滞扫描”，观察两条轨迹。

   **你会看到：** 靠近时摆幅一直很小，直到约 95 nm 才跳高；远离时摆幅一直很大，直到约 98 nm 才跌落。两者之间，两种稳定摆幅相差最多约六倍。

物理结论

在 100 nm 处，Casimir 力足以让微观振子的共振偏移并弯曲；它随距离急剧变化，使两种摆幅可以同时稳定。

## 相关实验与文章

涨落电动力学 · 阅读路径

### 从热辐射到纳米间隙两侧的热流与吸引力

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **Casimir 力怎样让一块微机械平板有两种摆幅**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/fluctuational-electrodynamics/casimir-force-and-a-bistable-oscillator/)
2. [实验 **真空输入，成对出光** 边界动起来：从吸引力到光子对](https://sandboxphysics.com/zh/labs/dynamical-casimir-photon-pairs/)

量子与场 · 入门路径

## 从一次测量开始

先预测结果，再数一数实际测到了什么。从一个量子比特出发，一路走到波包、束缚态和双光子干涉。

[从这里开始 → **量子态与 Born 测量** 先预测一个概率，转动分析器，再拿预测和多次测量得到的频率比一比。 观察 · 15 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
3. [3 波包传播与不确定性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
4. [4 量子谐振子态工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)
5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/quantum/#starter-path)