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title: "小车倒立摆互动实验｜Sandbox Physics"
description: "移动底座，接住倾倒。 电机能稳住摆杆并让小车归位吗？"
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last_modified: "2026-10-19"
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控制与力学 · 推力上限

# 小车倒立摆

倾斜三维倒立摆后释放。观察反馈怎样接住摆杆、让小车回到原处，以及电机推力不足时平衡怎样失效。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

理想质点摆球、无质量刚杆与无摩擦无限长导轨。采用局部状态反馈与推力限幅；不含起摆、碰撞、传感噪声或电机电气模型。

物理教程

## 接住摆杆，再让小车归位

**背景** 直立是一个不稳定平衡。反馈必须依据实际运动，并通过能力有限的执行器施加作用。

**为什么值得理解** 把装置运动、请求驱动和机械做功当成同一个实验来读。

先抓重点

- **核心问题**: 为什么向右倾斜，首先需要向右推动？
- **一句话直觉**: 底座的水平加速度通过约束改变杆的转动。控制器还跟踪小车位置和速度，让底座归位。

### 核心数学模型

#### 非线性小车倒立摆动力学

$$
(M+m)\ddot x+ml\cos\theta\,\ddot\theta-ml\sin\theta\,\dot\theta^2=F,\qquad l\ddot\theta+\cos\theta\,\ddot x=g\sin\theta
$$

倾角从直立向右计量。杆无质量，摆球为质点。

#### 局部全状态控制

$$
F_d=k_xx+k_v\dot x+k_\theta\theta+k_\omega\dot\theta,\qquad F=\operatorname{clip}(F_d,-F_{\max},F_{\max})
$$

增益随所选杆长和响应率重新计算，把未饱和局部系统的四个极点放在负响应率处。所有增益符号都依照这里的直立角度约定。

#### 机械功核对

$$
E=\tfrac12(M+m)\dot x^2+ml\dot x\dot\theta\cos\theta+\tfrac12ml^2\dot\theta^2+mgl(\cos\theta-1),\qquad\dot E=F\dot x
$$

耦合项不可省略。直立势能取零；核对的是能量变化与电机有符号做功，不是任意的能量零点。

### 常见难点

#### 反馈并非无限强

**容易误解** 开启反馈就一定能从任意初态恢复。

**正确理解** 比较上限预设。这些是驱动能力有限的局部平衡控制器，不是起摆算法。

#### 稳杆仍需要控制底座

**容易误解** 只反馈角度，小车也会自动归位。

**正确理解** 推力控制同时使用小车位置、速度以及杆倾角、角速度。

### 动手实验

1. 01

   #### 释放

   拖动金色初始倾角手柄，再播放。

   **应该观察到：** 观察摆杆与有符号驱动请求。

2. 02

   #### 寻找极限

   选择推力不足，再提高推力上限。

   **应该观察到：** 寻找请求驱动和实际驱动分离的时刻。

3. 03

   #### 核对能量

   到达回放终点，导出记录，并比较标准与精细积分。

   **应该观察到：** 机械能的变化跟随电机有符号做功。

物理结论

局部稳定控制需要足够的执行能力。饱和执行器无法提供理想控制指令。

一手理论资料：[MIT · Cart-Pole](https://underactuated.mit.edu/acrobot.html) · [ETH Zürich · 1D reaction-wheel model, Section II](https://idsc.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/mavt/dynamic-systems-n-control/idsc-dam/Research_DAndrea/Cubli/cubliCDC13.pdf)

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)