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title: "表面张力与毛细实验室互动实验｜Sandbox Physics"
description: "液体在细管里升多高，能分清表面张力和润湿吗？分不清。细管里液面升多高，只取决于表面张力乘以接触角的余弦，也就是润湿张力。"
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last_modified: "2026-10-28"
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M099 · 流体力学

# 表面张力与毛细实验室

**液体在细管里升多高，能分清表面张力和润湿吗？** 分不清。细管里液面升多高，只取决于表面张力乘以接触角的余弦，也就是润湿张力。张力小但很润湿的液体，和张力大但不太润湿的液体，可能升得一样高，光看高度拆不开这两样。

比较五根粗细不同的毛细管，看每根管里真实的球面弯月面，并在施加的前进角和后退角之间切换。采集体积平均高度，推出润湿张力。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型是静态的：Bond 数小，弯月面取球面，液池液位保持不变。高度数据只能定出表面张力乘以接触角余弦；要单独得到张力，必须另外知道接触角。不求解接触线的动力学。

物理教程

## 弯月面也是力平衡

**背景** 两台测量装置彼此独立，采集数据的方式相同，但物理定律、几何形状和近似成立的判据各管各的。

**为什么值得理解** 解读估计值之前，先把它和实际几何、参考剖面、原始传感器读数对应起来。

先抓重点

- **核心问题**: 力平衡里该用哪个液面高度？
- **一句话直觉**: 先确认近似成立，再用彼此独立的原始读数推断参数。

### 核心数学模型

#### 平均液柱的力平衡

$$
\rho g\pi r^2\overline h=2\pi r\gamma\cos\theta
$$

高度是液柱的体积平均高度，从液位不变的液池算起，低于液池时为负。

#### 球面弯月面

$$
\begin{aligned}\overline h&=\frac{2\gamma\cos\theta}{\rho gr}\\\Delta p&=p_l-p_g=-\frac{2\gamma\cos\theta}{r}\end{aligned}
$$

压力跃变取小 Bond 数下球面弯月面的参考值。液柱上升和下降时，它的符号相反。

#### 重力与毛细力比较

$$
\mathrm{Bo}=\rho gr^2/\gamma
$$

把弯月面当成球面，就忽略了重力在弯月面上各处的影响差别。这个数不超过 0.1 的管才采集；这条界线不代表通用的误差容限。

#### 高度数据能定出什么

$$
\begin{aligned}\overline h_i&=b+S/r_i\\\widehat{\gamma\cos\theta}&=\rho gS/2\end{aligned}
$$

拟合时让高度截距自由变化，推出润湿张力。再除以另外已知的接触角余弦，才得到张力；中性润湿附近不行。

#### 施加的接触角

$$
\theta=\operatorname{clip}\!\left(\theta_0+b\Delta\theta/2,0^\circ,180^\circ\right)
$$

接触角取后退、中心或前进三种值之一。这是人为设定的静态比较，不模拟钉扎或润湿动力学。

### 常见难点

#### 参考曲线不是估计值

**容易误解** 不记录数据，也能读出估计值。

**正确理解** 清空记录，估计值就没了。传感器扰动可能拟合出不合物理的结果；估计值不做截断，也没有独立校准。

### 动手实验

1. 01

   #### 比较管径

   选择润湿上升，查看五个弯月面和测量位置视角。

   **你会看到：** 管越细，液面升得越高。中心处的高度和体积平均高度不一样。

2. 02

   #### 反转润湿

   比较中性润湿与不润湿下降。

   **你会看到：** 曲率、带符号的高度和压力跃变一起改变。

3. 03

   #### 比较前进角与后退角

   选择角度滞后，切换前进与后退。

   **你会看到：** 液体和管径都相同，施加的接触角不同，静止高度也不同。

4. 04

   #### 测量整排管子

   采集合格管，增加高度扰动并导出 CSV。

   **你会看到：** 高度对半径倒数做直线拟合，可以估出润湿张力。中性润湿时，单靠高度定不出张力。

物理结论

参考曲线不是测量值；数据能定出哪些参数，要看实验怎么做。

## 相关实验与文章

动态界面 · 阅读路径

### 曲率、薄膜、温差流与液丝

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **表面张力为什么能把水拉成珠**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/dynamic-interfaces/surface-energy/)

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)