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title: "显微镜设计 Lab互动实验｜Sandbox Physics"
description: "显微镜能分辨的最小细节由什么决定？物镜能收进多宽的光锥，用数值孔径衡量，这决定了它能分辨的最小细节。"
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last_modified: "2026-10-27"
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光学 030 · 成像、仪器与视觉系统

# 显微镜设计 Lab

**显微镜能分辨的最小细节由什么决定？** 物镜能收进多宽的光锥，用数值孔径衡量，这决定了它能分辨的最小细节。照明要充满一个相当的光锥，常用 Köhler 照明来调。放大倍数再高，也只是放大物镜已经分辨出来的东西；探测器的像素还得够细，才采得下这些细节。

搭建一台无限远校正显微镜，分别追踪 Köhler 照明的视场中继和孔径中继，并在计算出的标量衍射像中分辨一对固定的样品点。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

装置是理想的近轴光学，插图显示正弦光瞳的标量衍射。不考虑真实镜片处方、高 NA 下的矢量效应、样品散射和探测器噪声。

物理教程

## 检验显微镜设计 Lab的物理过程

**背景** 无限远校正物镜把合焦样品发出的光变成准直光，再由单独的 tube lens 成一个倒立的实像，横向放大率为 $m=-f_{\mathrm{tube}}/f_{\mathrm{obj}}$。目镜放大的是已经存在的图像，无法补回物镜从未收集到的空间频率。

**为什么值得理解** 显微镜能分辨的最小细节由什么决定？

先抓重点

- **核心问题**: 显微镜能分辨的最小细节由什么决定？
- **一句话直觉**: 两个非相干点的 Rayleigh 参考距离为 $d_R=0.61\lambda/\mathrm{NA}_{\mathrm{obj}}$。明场能分辨的最细周期结构，还取决于照明孔径和相干性。那是 Abbe 估计，和这里的点源判据不是一回事。

### 核心数学模型

#### 物镜与目镜放大率

$$
m=-\frac{200\,\mathrm{mm}}{f_{\mathrm{obj}}},\qquad M_{\mathrm{visual}}=m\frac{250\,\mathrm{mm}}{25\,\mathrm{mm}}
$$

tube lens 固定为 200 mm，松弛眼观察用的目镜为 25 mm。负号表示像是倒立的。NA 不变时，只改物镜焦距，样品上的分辨率不会变。

#### 两种不同的分辨率标准

$$
d_R=\frac{0.61\lambda}{\mathrm{NA}_{\mathrm{obj}}},\qquad p_{\mathrm{Abbe}}=\frac{\lambda}{\mathrm{NA}_{\mathrm{obj}}+\min(\mathrm{NA}_{\mathrm{ill}},\mathrm{NA}_{\mathrm{obj}})}
$$

Rayleigh 判据针对两个非相干点。Abbe 表达式给出在当前照明角度范围下，明场能传过去的最细周期。它不是完整的部分相干传递函数，也不预测对比度。

#### Köhler 照明的共轭平面

$$
\mathbf P(f)\mathbf L(f)\mathbf P(2f)\mathbf L(f)\mathbf P(f)=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}
$$

每段展开的 4f 中继，把同一场点以不同斜率发出的光线都送到同一个倒立像点。黄色光线把视场光阑成像到样品上，紫色光线把光源成像到孔径瞳上，两组共轭不能互换。

#### 点像的标量离焦

$$
I(r,z)=\left|2\int_0^1\rho J_0(k\mathrm{NA}\,r\rho)\exp\!\left[\mathrm i kz\left(\sqrt{1-\mathrm{NA}^2\rho^2}-1\right)\right]\mathrm d\rho\right|^2
$$

像卡把两个独立点的强度相加，样品上的视场固定为 4 微米。离焦为零时，结果就是圆瞳的 Airy 图样。均匀正弦瞳和标量近似都不包含偏振，也不包含高 NA 下的矢量效应。

### 常见难点

#### 空放大

**容易误解** 提高倍率一定能把未分辨的两个样品点分开。

**正确理解** 倍率只是把同一幅光学图像放大。改变焦距时，盯住固定视场的像卡看。要看清更多细节，得改孔径、波长或对焦，或者换一种成像方法；把显示放大没有用。

### 动手实验

1. 01

   #### 场景 1：几何放大

   在几何放大场景中改变物镜焦距，比较样品位置、物镜瞳和中间像的带符号倍率。保持 NA 不变，确认像卡没有多出细节。

   **你会看到：** 物镜焦距越短，像的倍率越大。NA、波长和离焦都不变时，固定物方视场的衍射像卡完全一样。

2. 02

   #### 场景 2：Köhler 照明

   打开 Köhler 照明，调节照明 NA，把紫色的光源／瞳中继和黄色的视场中继分开来看。这里读到的 Abbe 估计不是荧光 PSF。

   **你会看到：** 缩小照明孔径，明场能传过的最细周期随之改变，单个非相干点的 PSF 却不变。

3. 03

   #### 场景 3：衍射受限分辨率

   在衍射受限分辨率场景中，把样品离焦调到零，再改变物镜 NA 和波长，两个固定点会合并或分开。拖动台面上标出的 NA 控制点，效果相同。

   **你会看到：** NA 越大，合焦时横向分辨率越好，但同样的样品位移会带来更强的离焦。轴上强度反映了这种取舍。

物理结论

先成像，再放大。孔径、共轭平面、相干性和对焦要分开考虑；判断细节，要在样品上固定的视场里比较。

波与光学 · 入门路径

## 从一条光线到干涉测量

从折射出发，找到光线模型失效的地方，再用干涉测量极小的距离。

[从这里开始 → **光学界面探索器** 转动入射角，观察反射与透射功率此消彼长；再切换到“临界角与全反射”场景。 观察 · 11 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)

1. [1 光学界面探索器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)
2. [2 彩虹焦散观测站](https://sandboxphysics.com/zh/labs/rainbow-laboratory/)
3. [3 针孔相机](https://sandboxphysics.com/zh/labs/camera-obscura/)
4. [4 相干波合成器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/coherent-wave-composer/)
5. [5 Young 双缝实验台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/young-double-slit-bench/)
6. [6 Michelson 精密测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/michelson-precision-lab/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/waves-and-optics/#starter-path)