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title: "随机介质中的分支光流互动实验｜Sandbox Physics"
description: "光穿过折射率略有起伏的介质，为什么会汇成一条条分支，而不是均匀散开？平滑而微弱的折射率起伏，就像许多很弱的透镜。"
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last_modified: "2026-10-28"
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光学 019 · 肥皂膜里的分支光流

# 随机介质中的分支光流

**光穿过折射率略有起伏的介质，为什么会汇成一条条分支，而不是均匀散开？** 平滑而微弱的折射率起伏，就像许多很弱的透镜。相邻光线经过的起伏几乎一样，方向还没被打乱，就先被聚成焦散，光于是汇成一条条分支。起伏越宽、越弱，第一批分支出现得越远。

让绿色激光穿过厚度起伏的肥皂膜：平直的光束会汇成一条条亮的分支，出现的位置由起伏的宽度和强弱决定。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型取 Patsyk、Sivan、Segev 和 Bandres（2020）的肥皂膜实验：532 nm 的光在空气中一张水平水膜（折射率 1.33）里传播，膜长 6 mm、宽 2 mm，平均厚度 250 nm。膜厚是平滑的高斯随机场，它的相关函数在所选相关长度上按高斯形式衰减，最薄处不低于 20 nm。每一处膜厚由对称平板波导条件定出最低阶导模的有效折射率；无序强度取折射率平方相对变化的均方根，即 2020 年论文里的势强度。一束平面波从一边射入，用前向 Helmholtz 方程的分步法算它穿过整张膜：横向 8192 个点（间距 0.24 µm），步长 20 µm，膜在宽度方向上周期重复。模型不含向后散射的光、吸收、膜的排液和蒸发，也不含真实膜面的缓慢漂移。光与膜轴的平均夹角超过约 0.4 rad 时，这种前向方法给出的偏折偏小。数据行里的光线是同一方程的光线极限。膜按实际比例绘制，光到达的过程经过慢放。

物理教程

## 看平直的光束分成分支

**背景** 肥皂膜是一层只有几百纳米厚的水。从边上射进去的光会被困在膜里，就像光被困在光纤里一样，沿着膜往前走。

**为什么值得理解** 膜厚的地方，更多的光走在水里，走得更慢，相当于那里的折射率更高。真实的膜从来不是均匀的，光走过的是一片平缓而宽阔的起伏。2020 年，Patsyk 等人把一束平直的绿光送进这样的膜，用显微镜从上方拍下了光的样子。

先抓重点

- **核心问题**: 这些起伏很平缓，位置又是随机的。为什么光束还是会汇成亮的分支？它要走多远分支才出现？
- **一句话直觉**: 每个起伏都是一枚很弱的透镜，光束上相邻的部分穿过的透镜几乎一样。它们各自的小小偏折不断累积，直到光线交叉，把光堆到一条条亮线上，这就是焦散。这段距离按 $l_{\mathrm{c}}\,v_0^{-2/3}$ 变化：和起伏的宽度成正比，对起伏强弱却不太敏感。

### 核心数学模型

#### 膜厚决定折射率

$$
\begin{gathered}\kappa\,\frac{t}{2}=\arctan\frac{\gamma}{\kappa}\\\kappa=k_0\sqrt{n_1^2-n_{\mathrm{eff}}^2},\quad\gamma=k_0\sqrt{n_{\mathrm{eff}}^2-1}\end{gathered}
$$

空气中厚度为 $t$、折射率 $n_1=1.33$ 的水膜的最低阶导模。有效折射率 $n_{\mathrm{eff}}$ 在膜极薄时接近 1，膜厚时趋向 1.33；532 nm 的光在 250 nm 厚处是 1.20。$k_0=2\pi/\lambda$。

#### 无序有多强

$$
\begin{gathered}\eta=\frac{n_{\mathrm{eff}}^2-\langle n_{\mathrm{eff}}^2\rangle}{2\langle n_{\mathrm{eff}}^2\rangle}\\v_0=\sqrt{\langle\eta^2\rangle}\end{gathered}
$$

折射率平方的相对变化起着势能的作用，$v_0$ 是它的均方根，即 Patsyk 等（2020）所说的势强度。默认膜厚起伏 60 nm，对应 $v_0=0.029$。相关长度 $l_{\mathrm{c}}$ 是起伏的宽度。

#### 光线偏向折射率高的一侧

$$
\frac{dx}{dz}=\theta,\qquad\frac{d\theta}{dz}=\frac{\partial\eta}{\partial x}
$$

与膜轴 $z$ 夹角 $\theta$ 很小时，光线横向漂移，并转向 $\eta$ 大的一侧。高 $v_0$、宽 $l_{\mathrm{c}}$ 的单个高斯形起伏，相当于焦距 $l_{\mathrm{c}}/(2\sqrt{\pi}\,v_0)$ 的透镜，默认膜是 1.2 mm。起伏变弱时，这个焦距比 $l_{\mathrm{c}}\,v_0^{-2/3}$ 增长得快，所以无序很弱时，分支来自许多起伏的叠加。

#### 第一批分支出现在哪里

$$
d_0\sim l_{\mathrm{c}}\,v_0^{-2/3}
$$

Kaplan（2002）证明，随机透镜在这段距离后第一次把相邻光线聚到一起。它给出的是距离怎样随参数变化，不含前面的系数。这里试过的每种强度和宽度，四张膜平均下来，光强起伏的峰都在 $l_{\mathrm{c}}\,v_0^{-2/3}$ 的 0.6 到 0.8 倍处，正是四分之一的光线已和相邻光线交叉的地方。

#### 光强起伏有多大

$$
\begin{gathered}S(z)=\frac{\langle I^2\rangle}{\langle I\rangle^2}-1\\P(I>x\langle I\rangle)=e^{-x}\ \text{（完全随机的波）}\end{gathered}
$$

闪烁指数 $S$ 在每个距离 $z$ 上沿膜的横向平均。均匀的一片光 $S=0$，分支形成处它最大（Patsyk 等 2020）。完全随机的波 $S=1$，光强按第二行的指数分布。

### 常见难点

#### 分支不是膜上的沟

**容易误解** 每条分支都沿着一道较厚的膜走，是那道“沟”在引导光。

**正确理解** 分支并不对应势场里的谷（Kaplan 2002）。它们是焦散，许多稍有偏折的光线在那里交叉；可以对照场景里膜的干涉色和光的走向。

#### 起伏再弱也有分支

**容易误解** 起伏足够弱，光束就会一直均匀。

**正确理解** 起伏变弱只是把第一批分支推远，而且推得很慢：起伏弱三倍，距离才远两倍左右。只有完全平整的膜，光才保持均匀。

#### 分支不是局域化

**容易误解** 光被困在分支里，就像强无序把波困住一样。

**正确理解** 分支是光一路前进的通道：光线聚拢、交叉、再散开，每条分支往前还会再分叉。Anderson 局域化则是靠多次散射的波相互干涉，让波根本无法扩散开。

### 动手实验

1. 01

   #### 看光束碎开

   保持默认预设“平直光束分成分支”，看光前沿穿过整张膜。

   **你会看到：** 均匀的一片绿光在第一毫米内就汇成几条亮线，再往前亮线又继续分叉。光强起伏在膜内 0.86 mm 处最大，这时的标度距离是 1.28 mm。

2. 02

   #### 读分析线

   看装置下方的两张图。

   **你会看到：** 在 2.5 mm 处，最亮点是平均值的 24 倍。分析线附近有 2.5% 的点亮于平均值的 5 倍，完全随机的波只有 0.67%。

3. 03

   #### 把起伏调弱

   载入“起伏更弱：分支出现得更晚”。

   **你会看到：** 膜厚起伏减半，无序强度也减半，变成 0.014。标度距离只变成 1.6 倍，即 2.1 mm；光强起伏的峰移到 2.0 mm。

4. 04

   #### 改变起伏的宽度

   先载入“起伏更窄”，再载入“起伏更宽”。

   **你会看到：** 起伏宽 80 µm 时，峰在 0.70 mm；宽 250 µm 时，在 1.5 mm。距离跟着起伏的宽度走。

5. 05

   #### 换一张膜

   载入“另一张统计相同的膜”。

   **你会看到：** 分支的位置全变了，光强起伏的峰却仍在 0.88 mm，和第一张膜的 0.86 mm 很接近。

6. 06

   #### 把膜弄平

   载入“平整的膜：没有分支”。

   **你会看到：** 光一路都是均匀的一片：起伏为零，最亮点就等于平均值。

物理结论

平滑的弱无序不会把平直的光束均匀散开，而是把它聚成分支，出现的距离由起伏的宽度和强弱决定；起伏变弱只是把分支推远。分支随后又继续分叉，光强一直在起伏，很亮的点比完全随机的波更常见。

## 相关实验与文章

凝聚态物理 · 阅读路径

### 磁性、无序与拓扑响应

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **无序怎样让量子波停止扩散**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/condensed-matter/anderson-localization/)
2. [实验 **Anderson 无序局域化** 无序与波输运](https://sandboxphysics.com/zh/labs/anderson-localization-transport/)

波与光学 · 入门路径

## 从一条光线到干涉测量

从折射出发，找到光线模型失效的地方，再用干涉测量极小的距离。

[从这里开始 → **光学界面探索器** 转动入射角，观察反射与透射功率此消彼长；再切换到“临界角与全反射”场景。 观察 · 11 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)

1. [1 光学界面探索器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)
2. [2 彩虹焦散观测站](https://sandboxphysics.com/zh/labs/rainbow-laboratory/)
3. [3 针孔相机](https://sandboxphysics.com/zh/labs/camera-obscura/)
4. [4 相干波合成器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/coherent-wave-composer/)
5. [5 Young 双缝实验台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/young-double-slit-bench/)
6. [6 Michelson 精密测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/michelson-precision-lab/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/waves-and-optics/#starter-path)