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title: "边界量子纠错互动实验｜Sandbox Physics"
description: "编码后的量子态丢掉多少，还能完整恢复？这个五比特码丢掉任意两个已知位置，仍能完整恢复输入态。"
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last_modified: "2026-10-28"
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FR09-C · 一个量子态，五个位置

# 边界量子纠错

**编码后的量子态丢掉多少，还能完整恢复？** 这个五比特码丢掉任意两个已知位置，仍能完整恢复输入态。留下的三个位置共同保住概率和相对相位；只剩两个位置时，它们的状态已不含输入信息。

点掉边界上的量子比特，比较恢复态和输入态。再转动输入相位，看看留下的信息能否保住量子叠加。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

五比特稳定子码把一个逻辑量子比特编码到五个物理量子比特。擦除指对已知位置求偏迹。恢复采用以逻辑最大混态为参考的 Petz 转置通道。画面表示一个有限维完美张量，没有空间度规或引力动力学。

有限维编码的精确计算

## 比较量子态的三个分量

金色表示输入态，青色表示恢复态。三个泡利期望值共同确定一个量子比特，包括它的相对相位。

恢复态密度矩阵与纠错条件

$\rho_{\rm recovered}=\begin{pmatrix}0.704&0.343-0.301i\\0.343+0.301i&0.296\end{pmatrix}$

$A_e^\dagger A_f=c_{ef}I$

残差衡量当前擦除通道偏离这条纠错条件的最大幅度。残差为零时，同一个恢复通道可以保住任意逻辑态，以及它和外部参考的纠缠。

物理教程

## 边界量子纠错

**背景** 一个未知量子比特既有两种结果的概率，也有相对相位。编码把这些信息分散到更大的量子态里。单看一小部分，可以什么也看不出；合起来，却能恢复原态。

**为什么值得理解** 五比特码是有限张量网络里常用的一块编码积木。拿走一个已知位置，就能检验剩下的部分到底保存了什么。

先抓重点

- **核心问题**: 编码后的量子态丢掉多少，还能完整恢复？
- **一句话直觉**: 留下三个位置，可以共同恢复逻辑量子比特；任意两个位置单独拿出来，都不含它的信息。

### 核心数学模型

#### 保持内积的编码

$$
\begin{aligned}V|\psi\rangle&=\cos\frac{\vartheta}{2}|0_L\rangle\\&\quad+e^{i\varphi}\sin\frac{\vartheta}{2}|1_L\rangle\\V^\dagger V&=I\end{aligned}
$$

两个逻辑码字是互相正交的五比特态。概率角决定两种结果的概率，相对相位决定叠加时的方向。

#### 求偏迹，擦除一个位置

$$
\begin{aligned}\mathcal N_E(\rho)&=\operatorname{Tr}_E(V\rho V^\dagger)\\&=\sum_e A_e\rho A_e^\dagger\end{aligned}
$$

把被擦除位置的所有可能结果加起来，不挑选测量结果。恢复通道只收到剩余部分的密度矩阵和丢失位置。

#### 检验整个逻辑子空间

$$
\begin{aligned}A_e^\dagger A_f&=c_{ef}I\\\rho_{\rm out}&=\mathcal R_E(\mathcal N_E(|\psi\rangle\langle\psi|))\\F&=\langle\psi|\rho_{\rm out}|\psi\rangle\end{aligned}
$$

第一条条件检验被擦除部分能否区分逻辑态。条件成立时，同一个恢复通道能保住任意输入及其与参考系统的纠缠。保真度则比较画面里所选的纯输入态和恢复态。

### 常见难点

#### 信息由多个位置共同保存

**容易误解** 每个位置都放着一份输入态的备份。

**正确理解** 任意一个或两个位置的状态都与输入无关，逻辑信息藏在联合关联里。五个位置装不下两组互不相交的三位置区域，恢复区域因此无法各自产出独立副本。

#### 已知位置的擦除不同于未知损伤

**容易误解** 能补回两个擦除位置，就能纠正任意两个未知错误。

**正确理解** 擦除把丢失位置告诉了解码器。这个距离为三的码能纠正两个已知擦除，或一个位置未知的任意单比特错误。

### 动手实验

1. 01

   #### 先丢掉两个位置

   先猜相对相位能否保住。选择“丢掉两个位置”，再拖动金色指针。

   **你会看到：** 恢复态的三个分量都跟着输入走。留下的信息既能恢复基态，也能恢复叠加态。

2. 02

   #### 再丢掉一个位置

   选择“留下的太少”，再改变两个输入滑块。

   **你会看到：** 输入条形仍会变化，恢复态的三个分量却全为零。只剩两个位置时，恢复结果是逻辑最大混态，保真度为二分之一。

3. 03

   #### 换一对擦除位置

   重置。点回已擦除的位置，再擦除另一对，保存模拟记录。

   **你会看到：** 换成任何一对，都能完整恢复。保存文件包含这次输入对应的复振幅、剩余密度矩阵和恢复结果。

物理结论

检验量子编码，要改变相对相位，并真正计算恢复通道；只看基态恢复，还没有检验量子叠加。

## 相关实验与文章

全息与量子引力 · 阅读路径

### 从 AdS 光信号到纠缠几何与量子恢复

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **只看一半，纯态为什么会显得随机**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/holography/entanglement-and-heat/)
2. [文章 **丢掉两个量子比特，怎样把叠加态找回来**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/holography/encoding-and-recovery/)
3. [文章 **从小模型读到全息论文**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/holography/reading-the-models/)
4. [实验 **AdS 区间纠缠与极值曲线** 复算一个解析切片](https://sandboxphysics.com/zh/labs/ads-interval-entanglement/)

量子与场 · 入门路径

## 从一次测量开始

先预测结果，再数一数实际测到了什么。从一个量子比特出发，一路走到波包、束缚态和双光子干涉。

[从这里开始 → **量子态与 Born 测量** 先预测一个概率，转动分析器，再拿预测和多次测量得到的频率比一比。 观察 · 15 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
3. [3 波包传播与不确定性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
4. [4 量子谐振子态工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)
5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/quantum/#starter-path)