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title: "弹跳球与恢复系数互动实验｜Sandbox Physics"
description: "少掉的回弹高度去了哪里？每撞一次地，都会损失一部分能量。"
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last_modified: "2026-10-27"
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M050 · 每次回弹都留下证据

# 弹跳球与恢复系数

**少掉的回弹高度去了哪里？** 每撞一次地，都会损失一部分能量。恢复系数是反弹速度与撞击速度之比，球能弹多高，又跟速度平方成正比。这样算下来，每次的最高点都是上一次乘以恢复系数的平方：恢复系数为 0.9，每弹一次高度只剩 81%。

松开小球，慢放落地的瞬间，比较弹性、有损和不回弹三种碰撞。记录顶点高度反推恢复系数，再看理想模型怎样在有限时间内弹无限多次。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

碰撞是瞬时的，地面固定不动。理想模型在有限时间内弹无限多次，这已经到了模型的边界。

物理教程

## 弹跳球与恢复系数

**背景** 每次碰撞，固定地面都与小球交换动量。

**为什么值得理解** 回弹一次比一次低，少掉的高度告诉你小球失去了多少机械能。

先抓重点

- **核心问题**: 少掉的回弹高度去了哪里？
- **一句话直觉**: 回弹前后的速度之比，等于相邻高度之比的平方根。

### 核心数学模型

#### 瞬时碰撞

$$
v^+=-e v^-,\qquad J=m(v^+-v^-)
$$

地面受到方向相反的冲量；单看小球，动量并不守恒。

#### 每次回弹的顶点高度与能量

$$
H_n=e^{2n}H_0,\qquad E_n=mgH_n
$$

两次碰撞之间，假设重力均匀、没有空气阻力。

#### 有限时间内的无限次回弹

$$
t_*=\sqrt{\frac{2H_0}{g}}+\frac{2e\sqrt{2gH_0}}{g(1-e)}
$$

恢复系数为零时，第一次落地就停下；恢复系数为一时，回弹永远不会停。

#### 从记录高度反推恢复系数

$$
\widehat e=\sqrt{\frac{\sum_n H_nH_{n+1}}{\sum_n H_n^2}}
$$

把分辨得出的相邻记录高度配成对，做过原点的直线拟合。一对高度都带噪声，估计可能有偏差。

### 常见难点

#### 地面从外部推球

**容易误解** 小球碰固定地面时自身动量守恒。

**正确理解** 地面给小球一个外冲量，小球的动量因此改变。碰撞时转移走的能量要单独算一项。

### 动手实验

1. 01

   #### 设置初态

   拖动金色手柄，或用键盘操作对应滑块。

   **你会看到：** 装置与预测运动一起更新。

2. 02

   #### 跟随事件

   播放、暂停，跳到下一个关键事件。

   **你会看到：** 高度连续变化，碰撞却能让速度瞬间跳变。

3. 03

   #### 追踪能量

   在转折点之间拖动时间轴。

   **你会看到：** 弹性势能、动能、重力势能和转移的能量，加起来始终是同一个总量。

4. 04

   #### 记录一次实验

   记录顶点高度，导出 CSV，再比较反推参数。

   **你会看到：** 回放保留同一份记录；改变物理参数才会清空。

物理结论

小球的机械能在减少，但把碰撞时转移走的能量算上，总能量依然平衡。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)