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title: "Bose–Hubbard · 数清量子涨落互动实验｜Sandbox Physics"
description: "晶格里原子间的排斥越来越强，会发生什么？原子越来越不愿意挤在同一格，每格的原子数涨落变小。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/bose-hubbard-lattice/"
last_modified: "2026-10-27"
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量子物质 / 玻色原子

# Bose–Hubbard · 数清量子涨落

**晶格里原子间的排斥越来越强，会发生什么？** 原子越来越不愿意挤在同一格，每格的原子数涨落变小。原子渐渐被钉在各自格点上，格点之间失去相位相干，动量分布里那个尖锐的干涉峰也慢慢消失。

在小晶格里制备原子，逐格数原子数，再把同一状态的独立副本释放出去测动量。排斥加大后，每格原子数的涨落变小，干涉峰也变平。还可以比较整填充、缺粒子和加中心势阱几种情况。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

晶格只有两到四格。计算用的是总粒子数固定的完整单带基底，制备理想基态或正则热态。数原子和单原子动量测量都是理想的，不考虑成像损失。看到的是有限系统里的渐变，不是热力学意义上的相变线。

逐格观察原子晶格

$L=4$

一个原子 空格 示意图 · 每格一个轨道

测量方式

每次测量都重新制备一份相同状态。

有两个及以上原子的格点 $0\%$

恰好一个原子的格点 $0\%$

模型概率 · 对全部格点或相邻键取平均。

从预测到记录下的结果

## 哪些排列会反复出现？

点击一行，放大查看该构型。金色是模型概率，青色是快照中的实际频率。

每张快照都来自一次新的制备

## 同一个状态，每次结果不同。

最近的快照 点击回看

一张快照从左往右读。空圈代表空格；两点代表同一轨道中的两个原子。这些是独立结果，不是原子移动的连续帧。

逐格统计的测量数据

## 先拍快照，再求平均。

青柱：记录均值；误差线：一个标准误差；金色短线：精确模型期望。

$M=0$ $\text{—}$ $\text{—}$

配对数按格点平均；邻居读数是原始自旋乘积，与下方连通协方差分开。估计仅使用原始记录。误差按独立制备计算，不把同一快照中的格点当成独立样本；一次制备不提供估计标准误差。

逐格数值

| 格点 | 测得均值 | 样本方差 | 模型均值 |
| --- | --- | --- | --- |

动量测量数据

## 中央峰还在吗？

$ka/\pi$

青色为 24 个等宽区间的频率，金色为模型逐区间积分概率，不拟合记录。平坦 Wannier 包络与单区读出是理想化；每份独立制备只记录一个原子。

## 留下一组对照

| 试验 | 读出 | 结果 |
| --- | --- | --- |

展示最近十二条，CSV 保留全部结果与设置；费米占据先列所有上自旋格点，再列所有下自旋格点。最多保存六组，点击可恢复。

精确小系统 · 明确边界

$D=0$

包含所选粒子数扇区中的全部构型，玻色单格占据除固定总数外不作截断。残差检查数值对角化，不评估单带物理模型的准确性。

$\begin{gathered}x_i=i-(L-1)/2\\V_i=Vx_i^2+Fa,x_i\end{gathered}$

格点从左至右，以格距为单位。中间键倍率作用于从零数起的第二条键（四格），两格及三格时作用于第一条键。全部能量采用固定参考能量。开放边界；省略加载斜坡、高能带、成像点扩散、热库及二维体相极限。零温简并基态取等权混合。

[Greiner et al. · 2002](https://doi.org/10.1038/415039a) [Mazurenko et al. · 2017](https://arxiv.org/html/1612.08436v1) [配套实验](https://sandboxphysics.com/zh/labs/fermi-hubbard-spin-correlations/)

物理教程

## Bose–Hubbard · 数清量子涨落

**背景** 在小晶格里制备原子，逐格数原子数，再把同一状态的独立副本释放出去测动量。排斥加大后，每格原子数的涨落变小，干涉峰也变平。还可以比较整填充、缺粒子和加中心势阱几种情况。

**为什么值得理解** 把几个格点反复制备，每次都把原子数一遍，多体物理就藏在这些计数里。

先抓重点

- **核心问题**: 晶格里原子间的排斥越来越强，会发生什么？
- **一句话直觉**: 总数固定，每一格的原子数仍然可以涨落。排斥很强时，原子不愿同挤一格，单粒子相干也随之减弱。

### 核心数学模型

#### 开放链 Hamiltonian

$$
\begin{gathered}H=-J\sum_i(b_i^\dagger b_{i+1}+\mathrm{h.c.})\\+\frac U2\sum_i n_i(n_i-1)+\sum_i V_i n_i\end{gathered}
$$

每格只有一个轨道。能量用固定的参考单位表示，调节跃迁不会改变这个单位。

#### 动量概率密度

$$
p(q)=\frac{1}{2\pi N}\sum_{ij}\langle b_i^\dagger b_j\rangle e^{iq(i-j)}
$$

每次独立制备只随机取一个原子，在一个布里渊区内读出动量。假定 Wannier 包络是平的。

#### 局域数目涨落

$$
\operatorname{Var}(n_i)=\langle n_i^2\rangle-\langle n_i\rangle^2
$$

表格用无偏样本方差。只有一张快照，估计不了涨落。

### 常见难点

#### 小系统不是无限系统

**容易误解** 几个格点就能定出宏观的相变。

**正确理解** 这些小系统的精确计算显示的是渐变和关联，给不出热力学临界点。

#### 计算曲线与原子计数

**容易误解** 计算曲线是从数到的原子重建出来的。

**正确理解** 参考曲线直接由密度矩阵算出；柱图、均值和协方差只用原始样本。

### 动手实验

1. 01

   #### 从对照开始

   先采集自由情况并保存，再保持填充不变，加大排斥。

   **你会看到：** 比较每一格的方差，再采集一组独立的动量样本。

2. 02

   #### 打破规律

   减少一个原子，再增强中心束缚。

   **你会看到：** 换了填充或势阱，同样大小的排斥未必带来同样的关联。

3. 03

   #### 检验极限

   把跃迁设为零，比较两格与四格，并导出完整记录。

   **你会看到：** 简并的基态按等权混合，不会随意挑出某一张有序快照。

物理结论

晶格只有两到四格。计算用的是总粒子数固定的完整单带基底，制备理想基态或正则热态。数原子和单原子动量测量都是理想的，不考虑成像损失。看到的是有限系统里的渐变，不是热力学意义上的相变线。

量子与场 · 入门路径

## 从一次测量开始

先预测结果，再数一数实际测到了什么。从一个量子比特出发，一路走到波包、束缚态和双光子干涉。

[从这里开始 → **量子态与 Born 测量** 先预测一个概率，转动分析器，再拿预测和多次测量得到的频率比一比。 观察 · 15 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
3. [3 波包传播与不确定性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
4. [4 量子谐振子态工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)
5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/quantum/#starter-path)