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title: "二维 Ising 自举上限：截断改变后拐点还在吗？互动实验｜Sandbox Physics"
description: "二维 Ising 模型真的处在自举上限的边缘，还是只是问题截断方式造成的假象？只要截断合理，它就是真的。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/bootstrap-bound-robustness/"
last_modified: "2026-10-30"
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FR37 · 共形自举

# 二维 Ising 自举上限：截断改变后拐点还在吗？

**二维 Ising 模型真的处在自举上限的边缘，还是只是问题截断方式造成的假象？** 只要截断合理，它就是真的。二维中第一个标量的自举上限正好在临界 Ising 模型所在处急剧转折，增加导数只会让上限向它靠拢。保留的自旋太少或量纲范围太短，搜索会把 Ising 模型本身也排除掉，说明截断已经坏了。

描出二维共形场论第一个标量的自举上限，看 Ising 点落在拐点上。改变导数、自旋和量纲范围，看哪些结论站得住。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

二维中四个相同标量的交叉方程被化成一个线性规划。对每个外算符量纲，用二分法找出任何泛函都排除不了的最大标量间隙；计算只保留截断以内的偶数自旋，以及选定范围内的采样量纲。二维 Ising 的自旋算符和能量算符分别在八分之一和一处。TASI 讲义表 1 的已发表数值作为参照点给出，不当作数据。正性只在采样点上施加，所以排除是数值证据，不是证明。自旋太少或量纲范围太短，上限会把 Ising 模型本身也排除掉；那是截断造成的假象。

导数越多，越接近已发表的上限

自旋太少，上限就塌下来

更多数值与计算方法

- **上限数值的来源**: $0$
- **每个交叉向量的分量数**: $0$
- **保留的偶数自旋个数**: $0$
- **每个自旋的密集量纲网格**: $0$
- **上限曲线上已描出的点**: $0$
- **探针位置**: $0$

页面上的每个上限都已用本页自己的线性规划和容差，为每一种滑块设置预先算好。页面保存二分法每一步的判定并重放，所以数值与现场求解完全相同。二维 Ising 检查和探针点则在你的浏览器里现场求解。

第一张图中的圆圈是 Simmons-Duffin TASI 讲义表 1 的已发表数值，只作参照，不是本页计算的结果。红点表示直到搜索窗口底部的所有间隙都被排除。假设：四个相同标量，只交换偶数自旋，幺正性，正性只在采样量纲上施加。

物理教程

## 一个拐点，以及怎样判断它是真的

**背景** 在二维中，把第一个标量的自举上限对外算符量纲作图，曲线会在某一点急剧转折。那一点就是临界 Ising 模型，它的自旋与能量量纲是精确已知的。

**为什么值得理解** 数值上限用的是有限多个导数、自旋和采样点。在相信曲线上的某个特征之前，要先确认改变这些选择时它不会跟着变。

先抓重点

- **核心问题**: 二维 Ising 模型真的处在自举上限的边缘，还是只是问题截断方式造成的假象？
- **一句话直觉**: 自旋足够多、量纲范围足够宽时，增加导数只会让上限向 Ising 值下降，拐点更尖。反过来，砍掉自旋或缩短范围，搜索就会找到连 Ising 模型本身也排除的泛函，这说明截断已经坏了。

### 核心数学模型

#### 带自旋的交叉方程

$$
\sum_{\Delta,\ell}p_{\Delta,\ell}\,\vec F_{\Delta,\ell}=-\vec F_0,\qquad p_{\Delta,\ell}\ge0,\ \ \Delta\ge\ell
$$

每个交换算符带有一个量纲和一个偶数自旋 $\ell$。在二维中，幺正性要求 $\Delta\ge\ell$。

#### Ising 点

$$
\Delta_\sigma=\tfrac18,\qquad \Delta_\varepsilon=1
$$

这是二维 Ising 共形场论的精确结果；上限从这一点上方很近的地方经过。

#### 已发表的收敛数据

$$
\Delta_\varepsilon^{\max}\bigl(\Lambda=6,\,8,\,12\bigr)=1.020,\ 1.0027,\ 1.00053
$$

Simmons-Duffin，TASI 讲义，表 1。本实验用自己的求解器复现这些数值。

### 常见难点

#### 更低的上限不一定更好

**容易误解** 某个截断给出更低的上限，就是更强的结果。

**正确理解** 更低的上限也可能来自漏掉了算符。这时真实理论需要正性的地方没有施加正性，泛函就会排除确实存在的理论，比如 Ising 模型。

### 动手实验

1. 01

   #### 找到拐点

   从默认状态开始，等曲线描完。

   **你会看到：** 上限先陡升，在白色星形处转折，然后缓慢上升。

2. 02

   #### 破坏截断

   先选“自旋太少”预设，再选“范围太短”预设。

   **你会看到：** 星形变红：搜索现在排除了 Ising 模型，这不可能是对的。

3. 03

   #### 增加导数

   回到默认状态，把导数阶数提高到 12。

   **你会看到：** 收敛图从上方逼近已发表的数据点，拐点更尖。

物理结论

只有在更多导数、更多自旋和更宽的量纲范围下都站得住，自举得到的特征才可信。

## 相关实验与文章

共形 bootstrap · 阅读路径

### 从临界链到二维上限的拐点

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **二维上限的拐点，以及落在拐点上的 Ising 模型**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/conformal-bootstrap/two-dimensional-ising-kink/)
2. [文章 **怎样读 TASI bootstrap 讲义的表 1 与图 27**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/conformal-bootstrap/reading-the-tasi-bounds/)

量子与场 · 入门路径

## 从一次测量开始

先预测结果，再数一数实际测到了什么。从一个量子比特出发，一路走到波包、束缚态和双光子干涉。

[从这里开始 → **量子态与 Born 测量** 先预测一个概率，转动分析器，再拿预测和多次测量得到的频率比一比。 观察 · 15 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
3. [3 波包传播与不确定性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
4. [4 量子谐振子态工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)
5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/quantum/#starter-path)